Cho đường tròn \[\left( O \right)\] và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B\) là tiếp điểm) và đường kính \(BC\). Trên đoạn \(CO\;\) lấy điểm \(I\) (\(I\) khác \(C,\) \(I\;\)khác \(O\)). Đường thẳng \(AI\) cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D\) nằm giữa \(A\) và \(E)\). Gọi \(H\;\)là trung điểm của đoạn thẳng \(\;DE\).

1) Chứng minh bốn điểm \(A,B,O,H\) cùng nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh \[\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BD}}{{BE}}\].

3) Đường thẳng \(d\;\) đi qua \(E\) song song với \(AO\), \(d\) cắt \(BC\) tại \(K\). Chứng minh \(HK\,{\rm{//}}\,DC\).

4) Tia \(CD\) cắt \(AO\;\) tại điểm \(P\), tia \(EO\) cắt \(BP\) tại điểm \(F\). Chứng minh tứ giác \(BECF\) là hình chữ nhật.

1)

Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

Với \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào \[A\] ta có:

\(A = \frac{7}{{\sqrt {25}  + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}\).

2)

Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\].

Với \(x \ge 0,x \ne 9\), ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{x - 9}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\( = \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right).\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\[ = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\( = \frac{{x + 5\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3\sqrt x  + 8\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\].

3)

Tìm \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị là số nguyên.

Với \(x \ge 0,x \ne 9\), ta có:

\(P = A.B\)\( = \frac{7}{{\sqrt x  + 8}}.\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\)\( = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}\).

Do \(x \ge 0\) nên \(P > 0\)

Do \(x \ge 0\) nên \[\sqrt x  + 3 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{7}{3}\]

Nên \(0 < P \le \frac{7}{3}\).

Để \(P\) có giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {1;2} \right\}\)

• Với \(P = 1\) thì \(\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  + 3 = 7 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} \right)\);

• Với \(P = 2\) thì \(\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x  + 3 = \frac{7}{2} \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(x \in \left\{ {16;\frac{1}{4}} \right\}\) là giá trị cần tìm.

Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x\) \(\left( {\rm{m}} \right)\) \(\left( {x > 0} \right)\).

Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật là \(720\,\,{{\rm{m}}^2}\) nên chiều dài là: \(\frac{{720}}{x}\) (m).

Sau khi thay đổi kích thước:

Chiều dài của của mảnh vườn hình chữ nhật là: \(\frac{{720}}{x} + 10\) \(\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều rộng của của mảnh vườn hình chữ nhật là: \[x - 6\] \(\left( {\rm{m}} \right)\).

Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:

\({\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {x - 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} + 10} \right) = 720\)

\( \Leftrightarrow 720 + 10x - \frac{{4320}}{x} - 60 = 720\)

\( \Leftrightarrow 10{x^2} - 60x - 4320 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 432 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 24x + 18x - 432 = 0\)

\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 24} \right) + 18\left( {x - 24} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x - 24} \right)\left( {x + 18} \right) = 0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 24\left( {tm} \right)\\x =  - 18\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đó là \[24\,\,{\rm{m}}\]; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật đó là: \(\frac{{720}}{{24}} = 30\)\(\left( {\rm{m}} \right)\).