Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích \(720\,\,{{\rm{m}}^2}\). Nếu tăng chiều dài thêm \(10\,\,{\rm{m}}\) và giảm chiều rộng \(6\,\,{\rm{m}}\) thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

1)

Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

Với \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) thay vào \[A\] ta có:

\(A = \frac{7}{{\sqrt {25}  + 8}} = \frac{7}{{5 + 8}} = \frac{7}{{13}}\).

2)

Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\].

Với \(x \ge 0,x \ne 9\), ta có:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{x - 9}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\( = \frac{{\sqrt x .\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right).\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\[ = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\( = \frac{{x + 5\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 3\sqrt x  + 8\sqrt x  - 24}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + 8\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 8} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\].

3)

Tìm \(x\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị là số nguyên.

Với \(x \ge 0,x \ne 9\), ta có:

\(P = A.B\)\( = \frac{7}{{\sqrt x  + 8}}.\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\)\( = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}\).

Do \(x \ge 0\) nên \(P > 0\)

Do \(x \ge 0\) nên \[\sqrt x  + 3 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{7}{3}\]

Nên \(0 < P \le \frac{7}{3}\).

Để \(P\) có giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {1;2} \right\}\)

• Với \(P = 1\) thì \(\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  + 3 = 7 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} \right)\);

• Với \(P = 2\) thì \(\frac{7}{{\sqrt x  + 3}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x  + 3 = \frac{7}{2} \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(x \in \left\{ {16;\frac{1}{4}} \right\}\) là giá trị cần tìm.

a.Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\):

\({x^2} = 3x + {m^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - {m^2} + 1 = 0\) \(\left( * \right)\)

Ta có \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - {m^2} + 1} \right) = 9 + 4{m^2} - 4 = 4{m^2} + 5 > 0,\forall m\)

Þ Phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Vậy \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

b.Gọi \[{x_1},{x_2}\] là hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1.\)

Do \({x_1},{x_2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) nên \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\).

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} =  - {m^2} + 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 3 + \left( { - {m^2} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy \(m \in \left\{ {2; - 2} \right\}\).