Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow u = \left( { - \sqrt 3 \,;\,0\,;\,1} \right)\) là              

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O'A'B'C' có \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( {0;3;0} \right),\overrightarrow {BC'}  = \left( {2; - 6;6} \right)\)Gọi \(H,K\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(OA'O'\) và \(CB'C'\).

a) Tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {HK}  = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).                                                        

b) Tọa độ véc to \(\overrightarrow {AB'}  = \left( { - 2;3; - 6} \right)\).

c) Tọa độ điểm \(O'\) là \(\left( {3; - 5;5} \right)\).             

d) Tọa độ điểm \(C'\) là \(\left( {2; - 3;6} \right)\)

Một tay lái mô tô nặng 180 (lb), di chuyển với vận tốc không đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị \(y = 100{e^{0,01x}},\quad  - 200 \le x \le 50\)

Có thể chứng minh rằng độ lớn của lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mô tô xấp xỉ

\[F(x) = \frac{{10890{e^{0,1x}}}}{{{{\left( {1 + 100{e^{0,2x}}} \right)}^{3/2}}}}\](đơn vị lb)

Hãy tìm lực pháp tuyến lớn nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm \[A\left( {800\,;\,500\,;7} \right)\] đến điểm \[B\left( {940\,;\,550\,;\,9} \right)\] trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là điểm \[C\left( {x\,;\,y\,;z} \right)\]. Tính \[x\, + \,y\, + z\]

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số \(y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4\;m - 2} \right)x + 1 - 4\;m}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) với \(m\) là tham số

              a) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.

              b) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\).

              c) Khi \[m < - 1\] thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong miền \(x > 0\).

              d) Có 2 phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(x - y = 0\).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Dân số của một quốc gia sau \[t\] (năm) bắt đầu từ năm \[2023\] được tính theo công thức \[N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\] (trong đó \[N\left( t \right)\] được tính bằng triệu người, \[0 \le t \le 50\])

              a) Dân số của quốc gia này ở năm \[2030\] vượt mức \[110\] triệu người.

              b) Dân số của quốc gia này ở năm \[2035\] vượt mức \[115\] triệu người.

              c) Vào năm \[2030\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.

              d) Vào năm \[2026\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.