Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm \[A,B\] của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \[AA' = 118m\], \[BB' = 487m\] và \[A'B' = 492\,m\] (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \[M\] của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \[A'B'\] sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí \[A,B\] đến vị trí \[M\] là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
______
Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm \[A,B\] của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \[AA' = 118m\], \[BB' = 487m\] và \[A'B' = 492\,m\] (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí \[M\] của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \[A'B'\] sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí \[A,B\] đến vị trí \[M\] là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
______
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta đặt \(A'M = x\), khi đó ta được:
\(MB' = 492 - x,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} ,BM = \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)
Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):
\(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\)với\(x \in \left[ {0;492} \right]\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
\(f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{.\;}}\)
\(f'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{{(492 - x)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{(492 - x)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(487x)}^2} = {{(58056 - 118x)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \frac{{58056}}{{369}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\). So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right),f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right),f\left( {492} \right)\) ta có giá trị nhỏ nhất là \(f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\)
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;m}}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a) Tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {HK} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\).
b) Tọa độ véc to \(\overrightarrow {AB'} = \left( { - 2;3; - 6} \right)\).
c) Tọa độ điểm \(O'\) là \(\left( {3; - 5;5} \right)\).
Lời giải
(a) Đúng: Gọi \(C'\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {BC'} = \left( {2; - 6;6} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 0 = 2}\\{y - 3 = - 6}\\{z - 0 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 3}\\{z = 6}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {2; - 3;6} \right)\).
(b) Đúng: Gọi \(O'\left( {x;y;z} \right)\). Theo hình vẽ thì \(\overrightarrow {AO'} = \overrightarrow {BC'} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 2}\\{y - 1 = - 6}\\{z + 1 = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = - 5}\\{z = 5}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow O'\left( {3; - 5;5} \right)\)
(c) Sai: Theo hình vẽ thì \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {OC'} = \left( {2; - 3;6} \right)\).
(d) Sai: Ta có \(\overrightarrow {HK} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Lời giải
Đặt \(u = {e^{0,2x}}\left( { \Rightarrow {e^{0,1x}} = {u^{1/2}}} \right)\) khi đó \(F(x) = 10890\frac{{{u^{1/2}}}}{{{{(1 + 100u)}^{3/2}}}}\)
Để tìm cực đại, xét \(G(u) = \frac{{{u^{1/2}}}}{{{{(1 + 100u)}^{3/2}}}},\quad u > 0\)
Tính \(\ln G = \frac{1}{2}\ln u - \frac{3}{2}\ln (1 + 100u) \Rightarrow \left( {\ln G} \right)\prime = \frac{1}{{2u}} - \frac{{150}}{{1 + 100u}}\)
Cho đạo hàm bằng 0: \(\frac{1}{{2u}} = \frac{{150}}{{1 + 100u}} \Rightarrow 1 + 100u = 300u \Rightarrow 200u = 1 \Rightarrow u = 0,005\)
Lập bảng biến thiên cho hàm số \(G(u),u > 0\) ta có được hàm số đạt cực đại tại \(u = 0,005\)
Trả về biến \(x\): \({e^{0,2x}} = 0,005 \Rightarrow 0,2x = \ln (0,005) \approx - 5,298 \Rightarrow x \approx - 26,49.\)
(thuộc miền \([ - 200,50]\)).
Giá trị cực đại
- Lực pháp tuyến đạt cực đại khi \(x \approx - 26.5\).
- Giá trị cực đại là khoảng \[419\](lb).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
a) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.
b) Khi \(m = 1\) đồ thị hàm số không cắt trục \(Ox\).
c) Khi \[m < - 1\] thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong miền \(x > 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) Dân số của quốc gia này ở năm \[2030\] vượt mức \[110\] triệu người.
b) Dân số của quốc gia này ở năm \[2035\] vượt mức \[115\] triệu người.
c) Vào năm \[2030\] thì tốc độ tăng dân số là \[1,6\] triệu người/năm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập