Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên, người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang \(35^\circ \)và lần thứ hai, người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó, với phương nhìn tạo với phương nằm ngang \(15^\circ \). Tính chiều cao ngọn núi, biết rằng tòa nhà cao \(60m\).

Gọi \(A,B\) lần lượt là vị trí của người quan sát tại tầng trệt và sân thượng của tòa nhà.

\(C,D\) lần lượt là đỉnh núi và chân núi.

Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ: \(AB = 60m\,,\,\widehat {CAD} = 35^\circ \,,\,\widehat {CBE} = 15^\circ \). Tính độ dài \(CD?\)

Cách 1. Ta có

\(\begin{array}{l}\widehat {CBA} = \widehat {CBE} + \widehat {EBA} = 105^\circ \\\widehat {BAC} = \widehat {BAD} - \widehat {CAD} = 55^\circ \\ \Rightarrow \widehat {BCA} = 180^\circ  - (\widehat {CBA} + \widehat {BAC}) = 20^\circ \end{array}\)

Áp dụng định lí hàm số sin vào tam giác \(ABC\) ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {CBA}}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB.\sin \widehat {CBA}}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{60.\sin 105^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \Rightarrow AC \approx 169,451\,(m\,)\)

Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) ta có

\(CD = AC.\sin \widehat {CAD} = AC.\sin 35^\circ  \Rightarrow CD \approx 97,193\,(m\,)\)

Cách 2. Đặt \(AD = x\)\( \Rightarrow BE = x\)

Xét tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) ta có

\(CE = BE.\tan 15^\circ  = x.\tan 15^\circ  \Rightarrow CD = CE + ED = x.\tan 15^\circ  + 60\)

Xét tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) ta có

\(\begin{array}{l}CD = AD.\tan 35^\circ \\ \Leftrightarrow x.\tan 15^\circ  + 60 = x.\tan 35^\circ \\ \Leftrightarrow x.(\tan 35^\circ  - \tan 15^\circ ) = 60\\ \Leftrightarrow x = \frac{{60}}{{\tan 35^\circ  - \tan 15^\circ }}\\ \Leftrightarrow x \approx 138,806\,(m\,)\end{array}\)

Do đó \(CD \approx 97,193\,(m\,)\).