Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(15\) gam hương liệu hòa tan, \(10\) lít nước và \(450\) gam đường để pha chế hai loại nước A và B;  Để pha chế \(1\) lít nước cần \(50\) gam đường, \(1\) lít nước và \(0,6\) gam hương liệu. Để pha chế \(1\) lít nước cần \(20\) gam đường, \(1\) lít nước và \(1,5\) gam hương liệu. Mỗi lít nước nhận được \(70\) điểm thưởng, mỗi lít nước nhận được \(90\) điểm thưởng. Để đội chơi được số điểm thưởng là lớn nhất thì cần pha chế \(a\) lít nước và \(b\) lít nước. Tính tổng \(a + b\).

Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số loại nước A và nước B mà đội chơi cần pha chế.

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(15\) gam hương liệu hòa tan nên ta có \(0,6x + 1,5y \le 15\).

Mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(10\) lít nước nên ta có \(x + y \le 10\).

Mỗi đội được sử dụng tối đa \(450\) gam đường nên ta có bất phương trình \(50x + 20y \le 450\).

Từ đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{0,6x + 1,5y \le 15}\\{x + y \le 10}\\{50x + 20y \le 450}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + 7,5y \le 75}\\{x + y \le 10}\\{5x + 2y \le 45.}\end{array}} \right.(1)\)

Số điểm thưởng là \(f(x;y) = 70x + 90y\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình \((1)\) là ngũ giác \(OABCD\) với \(A(0;7)\); \(O(0;0)\); \(B(4;6)\), \(C(6;4)\), \(D(8;0)\).

Vì giá trị lớn nhất của \(f(x;y) = 70x + 90y\) đạt được tại đỉnh của miền nghiệm.

Ta có \(f(0;0) = 0\), \(f(0;7) = 630\), \(f(4;6) = 600\), \(f(6;4) = 580\), \(f(8;0) = 560\).

Suy ra \(f(x;y)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(A(0;7)\).

Vậy để đạt số điểm thưởng lớn nhất đội chơi cần pha chế \(7\) lít nước.