Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ \(A\) để đi đến \(B\) với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quảng đường \(AB\) dài \(120\,\,{\rm{km}}\). Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là \(10\,\,{\rm{km/h}}\) nên xe ô tô đến \(B\) sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

1)

Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

Với \(x = 9\)(thỏa mãn điều kiện) thay vào \[A\] ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9  + 2}}{{\sqrt 9  - 5}}\)\( = \frac{{3 + 2}}{{3 - 5}} =  - \frac{5}{2}\).

2)

Chứng minh \[B = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\].

Với \(x \ge 0,x \ne 25\), ta có:

\(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 25}}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 5} \right) + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{3\sqrt x  - 15 + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\).

3)

Tìm tất cả giá trị của \(x\) để \[A = B.\left| {x - 4} \right|\].

Với \(x \ge 0,x \ne 25\), ta có:

\({\rm{     }}A = B.\left| {x - 4} \right|\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 5}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}} \cdot \left| {x - 4} \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 = \left| {x - 4} \right|\)             (do \(x \ge 0,x \ne 25\))

\( \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 = \left| {\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)} \right|\)

\( \Leftrightarrow 1 = \left| {\sqrt x  - 2} \right|{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}\sqrt x  + 2 > 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 2 = 1\\\sqrt x  - 2 =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(x \in \left\{ {9;1} \right\}\) là giá trị cần tìm.

Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ \(A\) để đi đến \(B\) với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quảng đường \(AB\) dài \(120\,\,{\rm{km}}{\rm{.}}\) Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là \(10\,\,{\rm{km/h}}\) nên xe ô tô đến \(B\) sớm hơn xe máy là 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Đổi 36 phút = \(\frac{3}{5}\) giờ.

Gọi vận tốc của xe máy là \[x\left( {{\rm{km/h}}} \right){\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\]

Khi đó vận tốc của ô tô là \(x + 10\) (km/h).

Thời gian xe máy đi từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô đi từ \(A\) đến \(B\) là \(\frac{{120}}{{x + 10}}\) (giờ).

Vì xe ô tô đến \(B\) sớm hơn xe máy là 36 phút nên ta có phương trình:

\(\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 10}} = \frac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{120x + 1200 - 120x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1200}}{{{x^2} + 10x}} = \frac{3}{5}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{400}}{{{x^2} + 10x}} = \frac{1}{5}\)

\( \Rightarrow {x^2} + 10x = 2000\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 2000 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 40} \right)\left( {x + 50} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40\left( {tm} \right)\\x =  - 50\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy vận tốc của xe máy là 40 km/h; vận tốc của ô tô là \[40 + 10 = 50\] (km/h).

Cho các số thực \(a,b,c\) thay đổi luôn thỏa mãn \[a \ge 1,\,b \ge 1,\,c \ge 1\] và \[ab + bc + ca = 9\].

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

• Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\).

Tương tự: \({b^2} + {c^2} \ge 2bc\); \({c^2} + {a^2} \ge 2ca\).

Suy ra: \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow P \ge 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(a = b = c \Leftrightarrow ab = bc = ca = 3 \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \)

Vậy \(\min P = 9 \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \)

• Vì \(a \ge 1,b \ge 1\) nên:

\(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 \ge 0 \Leftrightarrow a + b \le ab + 1\)

Tương tự: \(b + c \le bc + 1\); \(c + a \le ca + 1\)

Do đó:

\({\rm{     }}2\left( {a + b + c} \right) \le ab + bc + ca + 3\)

\[ \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) \le 12\]

\[ \Leftrightarrow a + b + c \le 6\]

\[ \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \le 36{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}a + b + c > 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \le 36\]

\[ \Leftrightarrow P + 2.9 \le 36\]

\[ \Leftrightarrow P \le 18\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong ba số \[a,b,c\] có ít nhất hai số bằng 1

Nhưng ba số \[a,b,c\] không thể đồng thời bằng 1 vì \(ab + bc + ca = 9\)

Þ Có hai số bằng 1, do đó số còn lại bằng 4.

Vậy \(\max P = 18 \Leftrightarrow (a,b,c) \in \left\{ {\left( {4;1;1} \right),\left( {1;4;1} \right),\left( {1;1;4} \right)} \right\}\).