a) Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2021 và hiệu của số lớn và số bé bằng 15.

a) * Vẽ đồ thị \(\left( P \right):y = {x^2}\)  

Hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\) và nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị hàm số có bề lõm quay lên, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Ta có bảng giá trị sau:

Vậy đồ thị \(\left( P \right)\) là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( {2;4} \right)\).

* Chứng minh rằng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(C\left( {2;4} \right).\)

Giả sử \(C\left( {2;4} \right) \in \left( d \right)\)

\( \Leftrightarrow {y_C} = k.{x_C} - 2k + 4\)

\( \Leftrightarrow 4 = k.2 - 2k + 4\)

\( \Leftrightarrow 4 = 4\) (luôn đúng với mọi \(k\))

Vậy \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(C\left( {2;4} \right)\) với mọi \(k\).

b)

Ta có: \(H\) là hình chiếu của điểm \(B\left( { - 4;4} \right)\) trên \(\left( d \right)\)

\( \Rightarrow BH \bot HC\) (vì \(C \in \left( d \right)\))

\( \Rightarrow \Delta HBC\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(HBC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\)

 Có: \({S_{BHC}} = \frac{1}{2}.BH.HC\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a.b \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) với hai số không âm \(a,b\), ta được:

\({S_{BHC}} = \frac{1}{2}.BH.HC \le \frac{1}{2}.\frac{{B{H^2} + C{H^2}}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{4}\)   \(\left( 1 \right)\)

Mà \(BC = \left| {{x_C} - {x_B}} \right| = \left| {2 - \left( { - 4} \right)} \right| = \left| 6 \right| = 6\)       \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({S_{BHC}} \le 9{\rm{  }}(c{m^2})\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BH = HC}\\{B{H^2} + H{C^2} = B{C^2} = 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow BH = HC = 3\sqrt 2 \)

Vậy khi \(k\) thay đổi \(\left( {k \ne 0} \right)\) thì diện tích tam giác \(HBC\) không vượt quá \(9c{m^2}\).

Với \(x > 0;x \ne 4\) ta có:

\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{x + 4}}{{4 - x}}} \right):\frac{x}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(B = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right]:\frac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x  - x - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{x}\)

\(B = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{x} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }}.\)

Vậy với \(x > 0;x \ne 4\) thì \(B = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }}.\)

Xét \(B <  - \sqrt x \)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }} <  - \sqrt x \)\( \Leftrightarrow  - 2 <  - x \Leftrightarrow x < 2\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x > 0;x \ne 4\) nên \(x = 1.\)