Một địa phương lên kế hoạch xét nghiệm SARS-COV-2 cho 12 000 người trong một thời gian quy định. Nhờ cải tiến phương pháp nên mỗi giờ xét nghiệm được thêm 1 000 người. Vì thế, địa phương này hoàn thành sớm hơn kế hoạch là 16 giờ. Hỏi theo kế hoạch, địa phương này phải xét nghiệm trong thời gian bao nhiêu giờ?

a) * Vẽ đồ thị \(\left( P \right):y = {x^2}\)  

Hàm số \(\left( P \right):y = {x^2}\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\) và nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị hàm số có bề lõm quay lên, nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Ta có bảng giá trị sau:

Vậy đồ thị \(\left( P \right)\) là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 2;4} \right),\left( { - 1;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;1} \right),\left( {2;4} \right)\).

* Chứng minh rằng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(C\left( {2;4} \right).\)

Giả sử \(C\left( {2;4} \right) \in \left( d \right)\)

\( \Leftrightarrow {y_C} = k.{x_C} - 2k + 4\)

\( \Leftrightarrow 4 = k.2 - 2k + 4\)

\( \Leftrightarrow 4 = 4\) (luôn đúng với mọi \(k\))

Vậy \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(C\left( {2;4} \right)\) với mọi \(k\).

b)

Ta có: \(H\) là hình chiếu của điểm \(B\left( { - 4;4} \right)\) trên \(\left( d \right)\)

\( \Rightarrow BH \bot HC\) (vì \(C \in \left( d \right)\))

\( \Rightarrow \Delta HBC\) vuông tại \(H\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(HBC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(B{C^2} = B{H^2} + H{C^2}\)

 Có: \({S_{BHC}} = \frac{1}{2}.BH.HC\)

Áp dụng bất đẳng thức \(a.b \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) với hai số không âm \(a,b\), ta được:

\({S_{BHC}} = \frac{1}{2}.BH.HC \le \frac{1}{2}.\frac{{B{H^2} + C{H^2}}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{4}\)   \(\left( 1 \right)\)

Mà \(BC = \left| {{x_C} - {x_B}} \right| = \left| {2 - \left( { - 4} \right)} \right| = \left| 6 \right| = 6\)       \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \({S_{BHC}} \le 9{\rm{  }}(c{m^2})\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BH = HC}\\{B{H^2} + H{C^2} = B{C^2} = 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow BH = HC = 3\sqrt 2 \)

Vậy khi \(k\) thay đổi \(\left( {k \ne 0} \right)\) thì diện tích tam giác \(HBC\) không vượt quá \(9c{m^2}\).

Với \(x > 0;x \ne 4\) ta có:

\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{x + 4}}{{4 - x}}} \right):\frac{x}{{x - 2\sqrt x }}\)

\(B = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right]:\frac{x}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\(B = \frac{{x - 2\sqrt x  - x - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{x}\)

\(B = \frac{{ - 2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right).\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{x} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }}.\)

Vậy với \(x > 0;x \ne 4\) thì \(B = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }}.\)

Xét \(B <  - \sqrt x \)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }} <  - \sqrt x \)\( \Leftrightarrow  - 2 <  - x \Leftrightarrow x < 2\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x > 0;x \ne 4\) nên \(x = 1.\)