Ông Sáu gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kỳ hạn 1 năm là 6%. Tuy nhiên sau thời hạn một năm ông Sáu không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lãnh. Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ. Sau 2 năm ông Sáu nhận được số tiền là 112 360 000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi). Hỏi ban đầu ông Sáu đã gửi bao nhiêu tiền?

a) Ta có \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(BD \bot AC\) và \(CE \bot AB\). Mà \(BD\) cắt \(CE\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\).

Suy ra \[AH \bot BC\]

Vì \[AH \bot BC,\,BD \bot AC\] nên \[\widehat {HFC} = \widehat {HDC} = 90^\circ \]

Suy ra \[\widehat {HFC} + \widehat {HDC} = 180^\circ \]

Suy ra \[HFCD\] là tứ giác nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {HFD} = \widehat {HCD}\]

b) Vì \[M\] là trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông \[ADH\] nên \[MD = MA = MH\]

Tương tự ta có \[ME = MA = MH\]

Suy ra \[MD = ME\]

Mà \[OD = OE\] nên \[\Delta OEM = \Delta ODM\](c.c.c) \[ \Rightarrow \widehat {MOE} = \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {EOD}\] (1)

Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung, ta có \[\widehat {ECD} = \frac{1}{2}\widehat {EOD}\] (2)

Theo ý a) ta có \[\widehat {HFD} = \widehat {HCD} = \widehat {ECD}\] (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \[\widehat {MOD} = \widehat {HFD}\] hay \[\widehat {MOD} = \widehat {MFD}\]

Suy ra tứ giác \[MFOD\] là tứ giác nội tiếp (4)

\[ \Rightarrow \widehat {MDO} = 180^\circ  - \widehat {MFO} = 90^\circ  \Rightarrow MD \bot DO\]

Chứng minh tương tự ta có \[MEFO\] là tứ giác nội tiếp (5)

Từ (4) và (5) suy ra 5 điểm \[M,\,E,\,F,\,O,\,D\] cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Gọi \[I\] là giao điểm thứ hai của \[MC\] với đường tròn \[\left( O \right)\]

Ta có \[\widehat {MDE} = \widehat {DCE}\] (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung \[DE\]) hay \[\widehat {MDK} = \widehat {HCD}\]

Mà \[\widehat {HCD} = \widehat {HFD}\](cmt) \[ \Rightarrow \widehat {MDK} = \widehat {HFD}\] hay \[\widehat {MDK} = \widehat {MFD}\]

Suy ra tam giác \[MDK\] đồng dạng với tam giác \[MFD\] (g-g)

\[ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{MK}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = MK.MF\]

Ta có \[\widehat {MDI} = \widehat {MCD}\] (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cùng chắn cung \[DI\])

Suy ra tam giác \[MDI\] đồng dạng với tam giác \[MCD\] (g-g)