Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\\y - x < 3\end{array} \right.\] là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y < 0\]:

Vẽ đường thẳng \[{d_1}:x - 2y = 0\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\,0} \right)\] và \[\left( {2;\,1} \right)\].

Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_1}\] và thay vào bất phương trình ta được: \[0 - 2.1 = - 2 < 0\].

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2y < 0\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_1}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].

+) Miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3y > - 2\]:

Vẽ đường thẳng \[{d_2}:x + 3y = - 2\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\] và \[\left( { - 2;\,0} \right)\].

Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_2}\] và thay vào bất phương trình ta được \[0 + 3.1 = 3 > - 2\].

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[x + 3y > - 2\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_2}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].

+) Miền nghiệm của bất phương trình \[y - x < 3\]:

Vẽ đường thẳng \[{d_3}: - x + y = 3\] đi qua hai điểm \[\left( {0;\, - 3} \right)\] và \[\left( {0;\,3} \right)\].

Chọn điểm \[M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_3}\] và thay vào bất phương trình ta được \[ - 0 + 1 = 1 < 3\].

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \[y - x < 3\] là nửa mặt phẳng bờ \[{d_3}\] chứa \[M\left( {0;\,1} \right)\].

Giao của ba miền nghiệm trên ta sẽ được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho và là miền không tô đậm trong hình vẽ và không kể đường thẳng \({d_1};\,\,{d_2};\,\,{d_3}\).