(1 điểm)

Cho tam giác \[ABC\] có trọng tâm \[G\] và hai đường trung tuyến \(AM\,,\,\,BN\). Biết rằng \(AM = 15\), \(BN = 12\) và tam giác \[CMN\] có diện tích bằng \(15\sqrt 3 \). Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.15 = 10\), \(BG = \frac{2}{3}BN = \frac{2}{3}.12 = 8\).

Xét tam giác \(ABC\), có:

\(M\) là trung điểm của \(BC\)

\(N\) là trung điểm của \(AC\)

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = 2{S_{MNC}} = 30\sqrt 3 \).

Ta lại có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \({S_{GAB}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.30 = 10\sqrt 3 \).

Mặt khác: \({S_{GAB}} = \frac{1}{2}GA.GB.\sin \widehat {AGB} = \frac{1}{2}.10.8.\sin \widehat {AGB} = 10\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \sin \widehat {AGB} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{40}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {AGB} = \frac{{\sqrt {13} }}{4}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{B^2} = A{G^2} + G{B^2} - 2.AG.GB.{\rm{cos}}\widehat {AGB}\)

\( = {10^2} + {8^2} - 2.10.8.\frac{{\sqrt {13} }}{4}\)

\( \approx 19,8\)

\( \Rightarrow AB \approx 4,4\)

\( \Rightarrow MN \approx 2,2\).

Vậy \(MN \approx 2,2\).