(1,0 điểm) Cho các địa điểm \(A,B\) và \(C\) (như hình vẽ) biết \(AB = 100\,\,km,\,AC = 150\,\,km,\widehat {ABC} = 110^\circ \). Bạn An muốn đi từ \(A\) đến \(C\) bằng một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Đi tàu thủy từ \(A\) và \(C\) với vận tốc \(30\,\,km/h\).

Cách 2: Đi xe hơi từ \(A\) và \(B\) rồi từ \(B\) đến \(C\) với vận tốc \(50\,\,km/h\).

Hỏi đi cách nào thì An sẽ đến \(C\) sớm hơn?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)}  = 10\sqrt 3 \) (đvdt).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

\(R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{5.7.8}}{{4.10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số ly thức ăn loại \(A\), \(y\) là số ly thức ăn loại \(B\) \(\left( {x;\,y \ge 0} \right)\).

Số protein trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(20x + 10y\,\,\left( g \right)\).

Vì hỗn hợp chứa ít nhất \(50g\) protein nên ta có bất phương trình: \(20x + 10y\, \ge 50\).

Số canxi trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(20x + 50y\,\,\left( {mg} \right)\).

Vì hỗn hợp chứa ít nhất \(130mg\) canxi nên ta có bất phương trình: \(20x + 50y\, \ge 130\).

Số calo trong \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) là: \(100x + 150y\,\,\left( {calo} \right)\).

Vì hỗn hợp chứa không quá \(550\,calo\) canxi nên ta có bất phương trình: \(100x + 150y\, \le 550\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y\, \ge 50\\20x + 50y \ge 130\\100x + 150y \le 550\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y\, \ge 5\\2x + 5y \ge 13\\2x + 3y \le 11\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\]

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Vì vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác \(MNP\) với \(M\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right)\), \(N\left( {1;\,\,3} \right)\), \(P\left( {4;\,\,1} \right)\).                                    

Giá tiền cho \(x\) ly thức ăn loại \(A\) và \(y\) ly thức ăn loại \(B\) nên ta có hàm \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 110x + 60y\) (nghìn đồng).

Ta có:

\(F\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right) = 110.\frac{3}{2} + 60.2 = 285\);

\(F\left( {1;\,\,3} \right) = 110.1 + 60.3 = 290\);

\(F\left( {4;\,\,1} \right) = 110.4 + 60.1 = 500\).

Vậy người ăn kiêng phải sử dụng bao \(1\) ly thức ăn loại \(A\) và \(3\) ly thức ăn loại \(B\) để số tiền bỏ ra là ít nhất.