Cho hai tập hợp \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2{x^2} - x = 0} \right\}\) và \(N = \left\{ {0;\,\,a} \right\}\). Với giá trị nào của \(a\) thì \(M = N\)?

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là: \(p = \frac{{4,3 + 7,5 + 3,7}}{2} = 7,75\,\left( {cm} \right)\).

Khi đó diện tích tam giác \(ABC\) là:

\({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \sqrt {7,75\left( {7,75 - 4,3} \right)\left( {7,75 - 7,5} \right)\left( {7,75 - 3,7} \right)} \)

\( \approx 5,2\,\,\left( {cm} \right)\).

Vành ngoài chiếc đĩa chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên bán kính chiếc đĩa chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và bằng:

\(R = \frac{{abc}}{{4{S_{abc}}}} \approx \frac{{4,3.7,5.3,7}}{{4.5,2}} \approx 5,7\,\left( {cm} \right)\).

Vì vậy bán kính chiếc đĩa khoảng \(5,7\,\,cm\).

Hướng dẫn giải

Gọi diện tích trồng Thược dược là \(x\) (ha), diện tích trồng Cúc là \(y\) (ha), \(\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó ta có:

Tổng diện tích trồng Thược dược và trồng cúc trên diện tích 12 ha nên \(x + y \le 12\)(1).

Số công trồng hai loại cây trên là \(10x + 15y\) (công)

Mà tổng số công không quá 150 nên ta có \(10x + 15y \le 150\) hay \(2x + 3y \le 30\)(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 12\\2x + 3y \le 30\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,\,10} \right)\), \(B\left( {6;\,\,6} \right)\), \(C\left( {12;\,\,0} \right)\).

Số tiền thu bác nông dân thu được khi trồng \(x\) (ha) Thược dược và \(y\) (ha) Cúc là: \(F\left( {x;\,\,y} \right) = 11x + 14y\) (triệu đồng).

Ta có:

Tại \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), \(F\left( {0;\,\,0} \right) = 11.0 + 14.0 = 0\);

Tại \(A\left( {0;\,\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,\,10} \right) = 11.0 + 14.10 = 140\);

Tại \(B\left( {6;\,\,6} \right)\), \(F\left( {6;\,\,6} \right) = 11.6 + 14.6 = 150\);

Tại \(C\left( {12;\,\,0} \right)\), \(F\left( {12;\,\,0} \right) = 11.12 + 14.0 = 132\).

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất thì hộ nông dân cần trồng 6 ha Thược dược và 6 ha trồng Cúc.