Trong các cặp số: \(\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {4;\,\,1} \right)\) có bao nhiêu cặp số là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\\2x - y >  - 2\end{array} \right.\)?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ sau:

Khi đó: \(\widehat {MHN} = 34^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {PMN} = 90^\circ  - \widehat {MHN} = 90^\circ  - 34^\circ  = 56^\circ \)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MNP\), có:

\(N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP.{\rm{cos}}\widehat {NMP}\)

\( = {33^2} + {42^2} - 2.33.42.{\rm{cos56}}^\circ \)

\( \approx 1302,9\)

\( \Leftrightarrow NP \approx 36,1\).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp khoảng \(36,1\,\,m\).

Hướng dẫn giải

Gọi số xe loại \(A\) cần thuê là \(x\) (xe) \(\left( {0 \le x \le 9} \right)\).

Số xe loại \(B\) cần thuê là \(y\) (xe) \(\left( {0 \le y \le 8} \right)\).

Xe loại \(A\) có thể chở tối đa \(20\) người và xe loại \(B\) có thể chở tối đa \(10\) người, cần chở \(120\) người nên tổng số tấn hàng hai xe cần trở tối thiểu là 120. Do đó ta có:

\(20x + 10y \ge 120\) hay \(2x + y \ge 12\).

Xe loại \(A\) có thể chở tối đa \(0,5\) tấn hàng và xe loại \(B\) có thể chở tối đa \(2\) tấn hàng, cần chở \(6,5\) tấn hàng nên tổng số tấn hàng hai xe cần trở tối thiểu là \(6,5\). Do đó ta có:

\(0,5x + 2y \ge 6,5\) hay \(x + 4y \ge 13\).

Từ đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 12\\x + 4y \ge 13\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác \(ABCD\) với \(A\left( {2;8} \right)\), \(B\left( {9;8} \right)\), \(C\left( {9;1} \right)\), \(D\left( {5;\,2} \right)\) như hình vẽ dưới đây:

Chi phí thuê xe là: \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) (triệu đồng).

Ta có:

Tại \(A\left( {2;8} \right)\) có \(F\left( {2;8} \right) = 4.2 + 3.8 = 32\);

Tại \(B\left( {9;8} \right)\) có \(F\left( {9;8} \right) = 4.9 + 3.8 = 60\);

Tại \(C\left( {9;1} \right)\)có \(F\left( {9;1} \right) = 4.9 + 3.1 = 39\);

Tại \(D\left( {5;\,2} \right)\) có \(F\left( {5;2} \right) = 4.5 + 3.2 = 26\)

Để chi phí bỏ ra là thấp nhất thì cần thuê 5 loại xe \(A\) và 2 loại xe \(B\).