Để đo đường kính của một hồ hình tròn, người ta làm như sau: Lấy ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) như hình vẽ sao cho \(AB = 7,5\,\,{\rm{m}};\,\,AC = 10,5\,\,{\rm{m}};\,\widehat {BAC} = 135^\circ \). Hãy tính đường kính của hồ nước đó.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {\left( {7,5} \right)^2} + {\left( {10,5} \right)^2} - 2 \cdot 8,5 \cdot 10,5 \cdot \cos 135^\circ \approx 277,87\)

Suy ra \(BC \approx 16,67\) (m).

Đường tròn hồ đi qua ba đỉnh của tam giác \(ABC\) nên đường tròn này ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Gọi \(R\) là bán kính đường tròn này. Theo định lí sin ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R\).

Thay số ta được: \(2R = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \approx \frac{{16,67}}{{\sin 135^\circ }} \approx 23,57\) (m).

Do đó, đường kính \(d = 2R \approx 23,57\) (m).

Vậy đường kính của hồ nước khoảng 23,57 m.