Cho hàm số \(y = \sin x\).

Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2025\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }}\) bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\).

Hằng năm, tại Hội Lim (huyện Tiên Du) thường có trò chơi đu. Giả sử một người chơi đu nhún đều làm cho cây đu đưa người đó dao động qua lại vị trí cân bằng, khoảng cách h từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được xác định bởi \(h = \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right|\), với h tính bằng mét, thời gian t (t ≥ 0) tính bằng giây. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có bao nhiêu lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất?

Cho hàm số \(y = \cos 2x - 2\cos x + 4\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là M và m. Tính \(M \cdot m\).

Cho \(\cos x = \frac{1}{3}\). Biểu thức \(P = {\sin ^2}x + 5{\cos ^2}x\) có giá trị bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Biết rằng tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) là \(\frac{{a\pi }}{b}\) với \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính a – b.

Số lượng (đơn vị: nghìn con) của một loài bướm ở một khu bảo tồn thiên nhiên được biểu diễn theo hàm số \(P\left( t \right) = 3 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}t} \right)\), \(0 \le t \le 12\) với t tính theo tuần kể từ khi các nhà khoa học ước tính số lượng.