Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\) như hình vẽ

Gọi S là tổng các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2025\pi } \right]\) của phương trình \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\). Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }}\) bằng bao nhiêu?

Điều kiện xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\tan x}}\) là

Hằng năm, tại Hội Lim (huyện Tiên Du) thường có trò chơi đu. Giả sử một người chơi đu nhún đều làm cho cây đu đưa người đó dao động qua lại vị trí cân bằng, khoảng cách h từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được xác định bởi \(h = \left| {3\cos \frac{{\left( {2t - 1} \right)\pi }}{3}} \right|\), với h tính bằng mét, thời gian t (t ≥ 0) tính bằng giây. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, có bao nhiêu lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất?

Cho \(\cot x = - \sqrt 3 ,\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \).

a) \(\sin x = - \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

b) \(\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}\).

c) \(\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3} - x} \right) = - \frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

d) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Cho \(\sin a = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính \(\cos a;\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \(h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right)\).

(a) Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

(b) Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?

Với \(k \in \mathbb{Z}\), phương trình \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\) có nghiệm là