Biết rằng tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 3 = 0\) trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) là \(\frac{{a\pi }}{b}\) với \(a \in \mathbb{Z},b \in {\mathbb{N}^*},\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính a – b.

a) Ta có \( - 4 \le 4\sin x \le 4\)\( \Leftrightarrow - 6 \le 4\sin x - 2 \le 2\).

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 2; giá trị nhỏ nhất của hàm số là −6.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.

b) \(f\left( { - x} \right) = 4\sin \left( { - x} \right) - 2 = - 4\sin x - 2 \ne f\left( x \right)\).

Do đó hàm số không là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = 4\sin x - 2\) là \(D = \mathbb{R}\).

d) \(f\left( {150^\circ } \right) = 4\sin 150^\circ - 2 = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left[ {0;2025\pi } \right]\) nên \(0 \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 2025\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{8101}}{4}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;..;2025} \right\}\).

Khi đó \(S = \frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \frac{{11\pi }}{4} + ... + \frac{{8099\pi }}{4}\)\( = \frac{\pi }{4}\left( {3 + 7 + 11 + ... + 8099} \right)\)\( = \frac{\pi }{4}.\frac{{\left( {3 + 8099} \right).2025}}{2} = \frac{{4051.2025\pi }}{4}\).

Khi đó \(\frac{{4S}}{{2025\pi }} = \frac{4}{{2025\pi }}.\frac{{4051.2025\pi }}{4} = 4051\).

Trả lời: 4051.