II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Cửa hàng của cô Liên có hai loại bưởi, bưởi loại I có giá là 400 000 đồng một quả, bưởi loại II có giá là 80 000 đồng một quả. Cô Liên chọn một lượng bưởi để làm giỏ quà cho khách hàng, biết số bưởi loại II ít nhất phải chọn là 5 quả. Do điều kiện kinh tế của khách nên số bưởi loại I phải chọn tối đa là 4 quả. Biết chọn 1 quả bưởi loại I có lãi 10 000 đồng, chọn 1 quả bưởi loại II có lãi 2 000 đồng. Khách hàng chỉ chi tối đa 1 600 000 đồng cho giỏ quà. Cô Liên cần chọn bưởi như thế nào để thu được lãi cao nhất ?

Gọi số bưởi loại II cô Liên chọn là \(x\) (quả), số bưởi loại I cô Liên chọn là \(y\) (quả).

Chi phí cho giỏ quà là: \(80\,\,000x + 400\,\,000y\) (đồng)

Chi phí này không được phép vượt quá mức chi tối đa là 1 600 000 đồng nên ta có: \(80\,\,000x + 400\,\,000y \le 1\,\,600\,\,000 \Leftrightarrow x + 5y \le 20 \Leftrightarrow x + 5y - 20 \le 0\).

Do số bưởi loại I phải chọn tối đa là 4 quả, số bưởi loại II ít nhất phải chọn là 5 quả nên \(x \ge 5\) và \(y \le 4\).

Đồng thời, do \(x\), \(y\) là số quả bưởi nên \(x \ge 0\), \(y \ge 0\).

Số tiền lãi của giỏ quà là: \(2\,\,000x + 10\,\,000y\).

Để có khả năng thu được lãi cao nhất, ta phải xác định \(x\), \(y\) sao cho \(M\left( {x;y} \right) = 2\,000x + 10\,000y\) đạt giá trị lớn nhất với \(x\), \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y - 20 \le 0\\x \ge 5\\0 \le y \le 4\end{array} \right.\)   (*)

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng \(d:x + 5y - 20 = 0\), \(d':x = 5\), \(d'':y = 4\)

Khi đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác không tô màu trong hình vẽ dưới đây:

Giá trị lớn nhất của \(M\left( {x;y} \right) = 2\,\,000x + 10\,\,000y\) đạt được tại một trong các điểm đỉnh của miền tam giác, đó là các điểm \(\left( {5;\,\,3} \right)\), \(\left( {5;\,\,0} \right)\); \(\left( {20;\,\,0} \right)\).

Ta có:

\(M\left( {5;\,\,3} \right) = 40\,\,000\)

\(M\left( {5;\,\,0} \right) = 10\,\,000\)

\(M\left( {20;\,\,0} \right) = 40\,\,000\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\left( {x;y} \right) = 2\,\,000x + 10\,\,000y\) là 40 000 (đồng) tại điểm \(\left( {5;3} \right)\) hoặc \(\left( {20;\,\,0} \right)\).

Vậy để thu được lãi cao nhất cô liên có hai cách chọn bưởi, cách thứ nhất là chọn 5 quả bưởi loại II và 3 quả bưởi loại I, cách thứ hai là chọn 20 quả bưởi loại II và không chọn bưởi loại I.