II. Tự luận (3 điểm)

(1 điểm) Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

Gọi \(x\), \(y\) là số lít nước cam và táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( {x;y \in \mathbb{N}} \right)\).

Lượng hương liệu dùng để pha chế \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[x + 4y\] (gam).

Lượng nước dùng để pha chế \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[x + y\] (lít).

Lượng đường dùng để pha chế \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \[30x + 10y\] (gam).

Theo đề ra ta có hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x,y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4y \le 24\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x,y \ge 0\end{array} \right.\].

Số điểm thưởng nhận được là \(T(x;y) = 60x + 80y\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền ngũ giác \(ABCDO\)(kễ cả biên), với \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), \(B\left( {4;\,\,5} \right)\), \(C\left( {6;\,\,3} \right)\), \(D\left( {7;\,\,0} \right)\), \(O\left( {0;\,\,0} \right)\).

Tại điểm \(A\left( {0;\,\,6} \right)\), ta có \(T(0;\,\,6) = 60 \cdot 0 + 80 \cdot 6 = 480\).

Tại điểm \(B\left( {4;\,\,5} \right)\), ta có \(T(4;\,5) = 60 \cdot 4 + 80 \cdot 5 = 640\).

Tại điểm \(C\left( {6;\,\,3} \right)\), ta có \(T(6;\,\,3) = 60 \cdot 6 + 80 \cdot 3 = 600\).

Tại điểm \(D\left( {7;\,\,0} \right)\), ta có \(T(7;\,\,0) = 60 \cdot 7 + 80 \cdot 0 = 420\).

Tại điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\), ta có \(T(0;\,\,0) = 60 \cdot 0 + 80 \cdot 0 = 0\).

Do đó \(T\left( {x;y} \right)\) lớn nhất bằng \(640\) khi \(x = 4;y = 5\).

Vậy cần phải pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số điểm thưởng cao nhất.