Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\,3} \right),\,\,B\left( {4;\, - 2} \right),\,C\left( {x;\,y - 1} \right)\). Xác định \(x,\,y\) để \(G\left( {2x;\,y + 2} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Đáp án đúng là: B

Vì hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \).

Do đó, \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 5 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ  = 15\).