(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) và điểm \(F\) sao cho \[\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{3}{2}\], \[\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{1}{3}\], \[\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{4}{1}\]. Đường thẳng \(AE\) chia đoạn \(DF\) theo tỷ số \[\frac{{KD}}{{KF}} = k\]. Tính giá trị của \(k\).

Theo giả thiết: \[\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có: \[\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \].

Khi đó, \[\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 2 \right)\]

Ta có: \[\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{4}{1} \Rightarrow \overrightarrow {BF}  = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \]

Khi đó, \[\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\left( 3 \right)\]

Mà \(A,\,\,K,\,E\) thẳng hàng nên \[\overrightarrow {AK}  = m\overrightarrow {AE} \,\,\left( 4 \right)\]

\(D,\,K,\,F\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {DK}  = n\overrightarrow {DF} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AK}  = n\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AF} } \right)\)

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AK}  = n\overrightarrow {AF}  + \left( {1 - n} \right)\overrightarrow {AD} \,\,\,\left( 5 \right)\]

Từ \[\left( 2 \right)\] và \[\left( 4 \right)\] suy ra: \[\overrightarrow {AK}  = \frac{3}{4}m\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}m\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 6 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\], \[\left( 3 \right)\] và \[\left( 5 \right)\] suy ra: \[\overrightarrow {AK}  = n\left[ {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right] + \left( {1 - n} \right)\frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {\frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{{4n}}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 7 \right)\]

Do hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \], \[\overrightarrow {AC} \] không cùng phương nên từ \[\left( 6 \right)\],\[\left( 7 \right)\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m}}{4} = \frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}\\\frac{m}{4} = \frac{{4n}}{5}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{5} - \frac{{2n}}{{15}} = \frac{{4n}}{5} \Leftrightarrow n = \frac{3}{{14}}\]

Suy ra \[\overrightarrow {DK}  = \frac{3}{{14}}\overrightarrow {DF}  \Rightarrow \frac{{DK}}{{DF}} = \frac{3}{{14}} \Rightarrow \frac{{KD}}{{KF}} = k = \frac{3}{{11}}\].

Vậy \[k = \frac{3}{{11}}\].