Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông \(ABCD\) có tâm \(O\) nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Phương án  A: \(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0\) nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án  B: \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  =  - OA \cdot OC =  - O{A^2}\)

và \(\frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC =  - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA =  - O{A^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {AC}  =  - O{A^2}\) nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án  C và D:  \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ  = AB \cdot AB\sqrt 2  \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\).

\(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD}  =  - AB \cdot DC =  - A{B^2}\), \(\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD}  = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ  = AB\sqrt 2  \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CD} \), \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AD} \) nên chọn C và loại D.