Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi \(\varphi \) là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Gọi \[\alpha  = \widehat {\left( {SB,AC} \right)}\]. Do \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] nên tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\].

Ta có \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AS} } \right).\overrightarrow {AC} } \right|}}{{{a^2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{{a^2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{{a^2}}}\]

\[ = \frac{{\left| {SA.AC.cos{{60}^0}} \right|}}{{{a^2}}} = \cos {60^0}\]. Khi đó \[\alpha  = \widehat {\left( {SB,AC} \right)} = {60^0}\]

Điều kiện \(1 < x < \frac{{11}}{2}\).

Ta có \({\log _{2 - \sqrt 3 }}\left( {x - 1} \right) + {\log _{2 + \sqrt 3 }}\left( {11 - 2x} \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{2 - \sqrt 3 }}\left( {x - 1} \right) + {\log _{2 - \sqrt 3 }}\frac{1}{{11 - 2x}} \ge 0 \Leftrightarrow {\log _{2 - \sqrt 3 }}\left( {\frac{{x - 1}}{{11 - 2x}}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{11 - 2x}} \le 1\\ \Leftrightarrow \frac{{3x - 12}}{{11 - 2x}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 4\\x > \frac{{11}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(1 < x \le 4\)

Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.