Lớp 10A có \(45\) học sinh, giáo viên chủ nhiệm cần chọn lần lượt \(5\) học sinh trồng năm cây khác nhau trong buổi lễ phát động trồng cây mùa xuân. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Gọi \(x\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\) là chiều rộng của khu vườn.

Khi đó : Diện tích phần đất trồng rau là \({x^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích hồ nuôi cá là \(10x - {x^2}\) \(\left( {{m^2}} \right)\)

Theo giả thiết đề ra ta có bất phương trình: \(60000{x^2} + 135000\left( {10x - {x^2}} \right) \le 5400000\)

\( \Leftrightarrow  - 75000{x^2} + 1350000x - 5400000 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \le 6\) (nhận) \( \vee \) \(x \ge 12\) (loại)\( \Rightarrow 0 < x \le 6\)

Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là \(6m\).

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).

\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)

Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le  - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\)

Vậy \( - 3 \le m \le  - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.