Lớp \(10A\) có \(25\)học sinh nam và \(10\) học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên ba học sinh để tham gia công tác tình nguyện. Số phần tử của không gian mẫu trong phép thử ngẫu nhiên trên là

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).

\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)\)

Do đó: \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(m \le  - 1 < 0 \le m + 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le m \le  - 1\)

Vậy \( - 3 \le m \le  - 1\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}\) nên có \(3\) giá trị nguyên thỏa mãn.

Đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\)có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\).

Tứ giác\(BCHK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (vì \(\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\)).

Dựng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A.\) Ta có \[\widehat {CAx} = \widehat {CBA} = \] sđ \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác: \[\widehat {CBA} = \widehat {AHK}\] (Vì tứ giác \(BCHK\) nội tiếp) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\widehat {CAx} = \widehat {AHK}\]. Vậy \[HK//Ax\], nên \[HK \bot AI\].

Đường thẳng \(AI\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {HK} \) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)\) (vì \(A\)có tung độ dương).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và \(K\) nên có phương trình: \(2x + y + 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)\] (vì \(B\) khác \(A\)).

Đường thẳng \(AC\)đi qua \(A\) và \(H\) nên có phương trình: \(x + 3y - 6 = 0\).

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)\] (vì \(C\) khác\(A\)).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính \(BC\) bằng \(\frac{{25}}{2} = 12,5\).