Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(N\) nằm trêm cạnh \(AC\) sao cho \(NA = 2NC\), \(D\) là trung điểm của \(AN\).

a) Chứng minh \(\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).

b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Tại một xã miền núi, có ba ngôi làng \(A,B,C\). Nhằm tạo điều kiện cho những trẻ em ở cả ba ngôi làng đều được đi học, nên người ta dự định xây một trường học \(X\) ở một vị trí thuận lợi và cách đều ba ngôi làng \(\left( {XA = XB = XC} \right)\). Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\), người ta xác định được tọa độ của ba ngôi làng lần lượt tương ứng với ba điểm \(A\left( {0;0} \right),B\left( {8;4} \right),C\left( {7;7} \right)\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 kilômét). Giả sử vị trí trường học cần xây dựng là điểm \(X\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b\).

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 4MC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \). Tính giá trị \(6m + n\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 1;2} \right)\). Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc tia \(AB\) sao cho \(AM = \sqrt {80} \). Tính \(x + y\).

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh là 12 cm. Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\). Khi đó: