Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A\left( {10;3;0} \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)\) với tốc độ \(4,5\;{\rm{m/s}}\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

Giả sử cabin dừng ở điểm B có hoành độ \({x_B} = 550\). Khi đó quãng đường AB dài bao nhiêu mét?

Trả lời: 4,5

Vì chiều cao của cổng bằng 4 m nên \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4\).

Mà \(\left( {2;0} \right) \in \left( P \right)\) nên \(0 = a{.2^2} + 4 \Leftrightarrow a = - 1\). Do đó \(y = - {x^2} + 4\).

Do đó diện tích toàn bộ chiếc cổng là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|} dx = \frac{{32}}{3}\).

Vì \(D \in \left( P \right)\) nên \(D\left( {a; - {a^2} + 4} \right),\left( {0 < a < 2} \right)\).

Suy ra \(FC = 2a;CD = 4 - {a^2}\). Do đó \({S_{CDEF}} = 2a.\left( {4 - {a^2}} \right) = 8a - 2{a^3}\).

Để chi phí phần trang trí là nhỏ nhất thì diện tích phần tô màu phải nhỏ nhất hay diện tích hình chữ nhật \(CDEF\) phải lớn nhất.

Xét hàm số \(f\left( a \right) = 8a - 2{a^3}\). Có \(f'\left( a \right) = 8 - 6{a^2} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) vì \(0 < a < 2\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có diện tích \(CDEF\) lớn nhất bằng \(\frac{{32\sqrt 3 }}{9}\) khi \(a = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Khi đó diện tích phần tô màu là \({S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9}\).

Chi phí tối thiểu là: \(\left( {\frac{{32}}{3} - \frac{{32\sqrt 3 }}{9}} \right).1000000 \approx 4,5\) triệu đồng.

Trả lời: 0,4

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {3; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\) có tâm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IM} = \left( { - \frac{8}{9}; - \frac{{16}}{9};\frac{{16}}{9}} \right) = - \frac{8}{9}\left( {1;2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {\frac{{10}}{9}; - \frac{{25}}{9};\frac{7}{9}} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(x + 2y - 2z + 6 = 0\).

Giả sử H là giao điểm của \(AB\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\\x + 2y - 2z + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\\3 - t + 2\left( { - 2 - 3t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 - 3t\\z = 1 - t\\5t = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{12}}{5}\\y = - \frac{{19}}{5}\\z = \frac{2}{5}\\t = \frac{3}{5}\end{array} \right.\). Suy ra \(H\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{19}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Vậy độ cao của máy bay khi đi xuyên qua đám mây để hạ cánh là 0,4 km.