Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

a) Nếu diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{5}{2}\) thì độ dài cạnh \(BC = 1\).

b) Phương trình đường cao \(AH\) của tam giác đi qua điểm \(M\left( { - 4;1} \right)\).

c) Đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\)đi qua gốc toạ độ.

d) Nếu \(G\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì phương trình đường trung trực của cạnh \(BC\) là \(2x + 2y - 3 = 0\).

a) Sai : Ta có: \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BC = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \sqrt 2 \)

b) Đúng : Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = \left( {1; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;1} \right)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

Dễ thấy điểm \(M\left( { - 4;1} \right)\) thuộc đường \(AH\)

c) Sai : Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \[d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1\left( {y - 1} \right) = 0\] hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

Vậy đường trung bình không đi qua gốc toạ độ.

d) Đúng : Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\). Ta có: \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Rightarrow M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)

Gọi \(d\) là đường trung trực của cạnh \(BC\) thì \(d\)đi qua \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có vec tơ pháp tuyến là \(\vec n = \left( {1;1} \right)\) nên \(d\): \(2x + 2y - 3 = 0\).