Trong mặt phẳng toạ độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau.

a) Nếu diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(\frac{5}{2}\) thì độ dài cạnh \(BC = 1\).

b) Phương trình đường cao \(AH\) của tam giác đi qua điểm \(M\left( { - 4;1} \right)\).

c) Đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\)đi qua gốc toạ độ.

d) Nếu \(G\left( {\frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì phương trình đường trung trực của cạnh \(BC\) là \(2x + 2y - 3 = 0\).

Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số \[1,2,3,4,5,6\]. Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\), xác suất để số được chọn là một số chia hết cho \[5\] là \(\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị biểu thức \(T = 2a + b\)

Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ.

a) Có 5 cách xếp 5 học sinh nữ vào 5 chỗ ngồi.

b) Có \(10!\) cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế.

c) Có \(5!.5!\) cách xếp nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.

d) Có \(2.5!\) cách xếp học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau.

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình \({x^2} - 2\left( {{\mkern 1mu} m - 1{\mkern 1mu} } \right)x + 4m + 8 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)

Có 4 cặp vợ chồng ngồi trên một dãy ghế dài. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ và chồng của mỗi gia đình đều ngồi cạnh nhau.

Ngày 6/2/2023, một trận động đất 7,8 độ richter có tâm chấn tại Thổ Nhĩ Kì (hình minh hoạ bên dưới). Biết rằng đường tròn tác động đi qua 2 thành phố Kahramamaras và Nurdagi có toạ độ lần lượt là \(K\left( { - 3;10} \right)\)và \(N\left( {8;0} \right)\). Mặt khác, tâm chấn cách đều hai thành phố nói trên. Bán kính tác động (km) tính từ tâm chấn (tâm \(I\)) bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Biết hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c\] đạt giá trị nhỏ nhất là \(4\) tại \(x = 2\) và đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6. Tính \(2a + b - 3c\;?\)