Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho hypebol \[\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]. Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

a) Hypebol \(\left( H \right)\) có toạ độ tiêu điểm \[{F_1}\left( { - 5;0} \right)\,,\,\,{F_2}\left( {5;0} \right)\].

b) Hypebol \(\left( H \right)\) có độ dài trục thực bằng \(16\).

c) Hypebol \(\left( H \right)\) có độ dài trục ảo bằng \(4\).

d) Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 10.

a) Đúng: Số cách xếp ngẫu nhiên \(7\) học sinh không kể nam nữ lên ghế là một hoán vị của \(7\): \[{P_7} = 5040\].

b) Sai: Các học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau, ta coi các bạn nam là nhóm A, các bạn nữ là nhóm B. Xếp \(2\) nhóm này lên ghế có: \(2! = 2\) cách.

Hoán vị \(5\) học sinh nam có: \(5! = 120\) cách

Hoán vị \(2\) học sinh nữ có: \(2! = 2\) cách

Vậy số cách xếp để học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau là \(2.120.2 = 480\)cách.

c) Đúng: Xếp \(2\) học sinh nữ vào \(2\) đầu ghế có: \(2! = 2\) cách.

Xếp \(5\) học sinh nam vào \(5\) vị trí ở giữa có: \(5! = 120\) cách

Vậy số cách xếp để \(2\) học sinh nữ ngồi ở \(2\)đầu ghế là \(2.120 = 240\)cách.

d) Đúng: Để \(2\) học sinh nữ ngồi cạnh nhau ta coi \(2\) học sinh nữ là nhóm A.

Xếp nhóm \(A\) và \(5\) học sinh nam ghế có: \(6! = 720\) cách.

Hoán vị \(2\) học sinh nữ có: \(2! = 2\) cách

Vậy số cách xếp để \(2\) học sinh nữ ngồi cạnh nhau là \(720.2 = 1440\)cách.

Suy ra xếp \(7\) học sinh vào ghế, số cách xếp để\(2\) học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là \[5040 - 1440 = 3600\].

Ta có: \({x^2} + (m - 2)x + 5m + 1 > 0\)\(,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{\Delta  < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)\).

Vậy có tất cả \(23\) giá trị thoả mãn.