Cho hình bình hành\(ABCD\) có \(\widehat {ABC}\)\( = {120^0}\)và\(BC = 2AB\).Dựng đường tròn\((O)\)có đường kính\(AC\). Gọi \(\left\{ E \right\} = AB \cap (O);\left\{ F \right\} = AD \cap (O).\)Gọi \(EF\)cắt\(BC,BD\) lần lượt tại \(H,S\).Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABD\)là tam giác vuông.

b)  Tứ giác\(OBEH\)nội tiếp.

c) \(SC\)là tiếp tuyến của \((O)\).

a) Đặt \(AB = a,BC = 2a\).Vì \(\widehat {ABC} = {120^0}\)\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAD} = {60^0}\).

Áp dụng định lí cosin vào \(\Delta ABD\)ta có:

 \(\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos BAD\\ = {a^2} + 4{a^2} - 2.2a.a.\cos 60\\ = 5{a^2} - 2{a^2} = 3{a^2} \Rightarrow B{D^2} + A{B^2} = A{D^2}\end{array}\)

 Do đó\(\Delta ABD\)là tam giác vuông theo định lí Pytago đảo.

b) Vì \(\Delta ABD\)là tam giác vuông nên \(OB \bot AE\)nên B là trung điểm của AE.

Mặt khác \(BH//AF\)nên theo tính chất đường trung bình ta có H là trung điểm của EF\$\Rightarrow$\(\widehat {OHF} = {90^0} = \widehat {OBE}\)$\Rightarrow$\(OBEH\)nội tiếp (ĐPCM).

c) Ta có: \(\widehat {CHS} = \widehat {BHE}.\)Vì OBEH nội tiếp nên \(\widehat {BHE} = \widehat {BOE} = \widehat {BOA} = \widehat {COS}\)

\( \Rightarrow \) OHCS nội tiếp.  

\( \Rightarrow \)\(\widehat {SCO} = \widehat {SHO} = {90^0}\).Từ đây ta có SC là tiếp tuyến của (O) (ĐPCM).