Cho hình bình hành\(ABCD\) có \(\widehat {ABC}\)\( = {120^0}\)và\(BC = 2AB\).Dựng đường tròn\((O)\)có đường kính\(AC\). Gọi \(\left\{ E \right\} = AB \cap (O);\left\{ F \right\} = AD \cap (O).\)Gọi \(EF\)cắt\(BC,BD\) lần lượt tại \(H,S\).Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABD\)là tam giác vuông.

b)  Tứ giác\(OBEH\)nội tiếp.

c) \(SC\)là tiếp tuyến của \((O)\).

Giả sử tồn tại các số nguyên a,b thoả mãn đề bài.

Khi đó \({(a + b\sqrt {2023} )^2} = 2024 + 2023\sqrt {2023} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + 2ab.\sqrt {2023}  + 2023{b^2} = 2024 + 2023\sqrt {2023} \\ \Rightarrow {a^2} + 2023{b^2} - 2024 = 2023\sqrt {2023}  - 2ab.\sqrt {2023} \\ \Rightarrow {a^2} + 2023{b^2} - 2024 = \sqrt {2023} (2023 - 2ab)\end{array}\)

Vì \({a^2} + 2023{b^2} - 2024\) là số hữu tỉ, còn \(\sqrt {2023} \left( {2023 - 2ab} \right)\) là số vô tỉ nên

\(2ab = 2023\). Điều này là vô lí vì 1 vế là chẵn 1 vế là lẻ.Suy ra giả sử trên sai.Vậy không tồn tại các số nguyên a,b thoả mãn đề bài.

Ta có: \({P_1}\left( x \right) = a{x^2} + bx + c + a\)

\({P_2}\left( x \right) = a{x^2} + bx + c + 2a\)

     ………………………………….

\({\rm{\;}}{P_n}\left( x \right) = a{x^2} + bx + c + na\) với n thuộc N*

Xét phương trình: \(a{x^2} + bx + c + na = 0\)

\(\Delta  = {b^2} - 4a\left( {c + na} \right)\).

Chọn số nguyên dương n sao cho \(n > \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}\) , khi đó \(\Delta  < 0\).Do đó phương trình \(a{x^2} + bx + c + na = 0\)vô nghiệm.Vậy cứ làm như vậy thì đến một lúc nào đó ta sẽ nhận được một đa thức không có nghiệm.