Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng 100 m như hình vẽ. Xác định kích thước vườn hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là 280 m.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 1;\,\,4 - 2} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), nên \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Do đó, đường thẳng \(AB\) cũng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 4} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:3x + 4y - 2 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;\,4} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {a;\,\, - 2} \right)\), do đó đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;\,\,a} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ  = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }} \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt 2 \left| {3a - 8} \right|\)\( \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 18{a^2} - 96a + 128\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right.\).