Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một miếng đất hình tròn có đường kính bằng 100 m như hình vẽ. Xác định kích thước vườn hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là 280 m.

Đặt độ dài một cạnh của vườn hoa hình chữ nhật là \(x\) (m) \(\left( {0 < x < 100} \right)\). Vì đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính của hình tròn nên áp dụng định lí Pythagore ta suy ra độ dài cạnh còn lại của vườn hoa hình chữ nhật đó là \(\sqrt {{{100}^2} - {x^2}}  = \sqrt {10\,\,000 - {x^2}} \) (m).

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật là:

\(2\left( {\sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  + x} \right) = 280\)  (m).

Giải phương trình \(2\left( {\sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  + x} \right) = 280\) (*).

Ta có: \(2\left( {\sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  + x} \right) = 280\)\( \Leftrightarrow \sqrt {10\,\,000 - {x^2}}  = 140 - x\)

\( \Rightarrow 10\,000 - {x^2} = 19\,600 - 280x + {x^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 4\,800 = 0\)\( \Rightarrow x = 80\) hoặc \(x = 60\).

Thử lại ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do đó, phương trình (*) có hai nghiệm \(x = 80\) (m) hoặc \(x = 60\) (m). Nếu \(x = 80\) (m) thì độ dài cạnh còn lại là 60 m và ngược lại.

Vậy kích thước vườn hoa là 60 × 80 m.