Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O) (C khác A, B và AC < CB). Các tiếp tuyến  của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tại M và N.

1) Chứng minh tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

2) Chứng minh CM = CO.

3) Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh \(EA.EB = E{C^2}\).

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết \(OB = 6cm,\,BD = 8cm\). Tính thể tích của hình nón tạo thành.

1) Phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - m = m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\).

Vậy \(m >  - 1\) thì phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

2) \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\\{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1} \right)^2} + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\end{array} \right.\) Þ \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} = 0\) là hệ thức liên hệ giữa \({x_1}\) và \({x_2}\) mà không phụ thuộc vào tham số m.

1) Giải phương trình \({x^2} + x - 6 = 0\).

\(\Delta  = 25 > 0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 - 5}}{2} =  - 3\).

Tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {2; - 3} \right\}\).

2) Giải phương trình \(x - 3\sqrt x  = 4\).

Đặt \(t = \sqrt x \,\left( {x \ge 0,\,t \ge 0} \right)\) phương trình trở thành \({t^2} - 3t - 4 = 0\).

Ta có \(1 - ( - 3) - 4 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({t_1} =  - 1\) (loại), \({t_2} = 4\) (nhận).

Với \[t = 4 \Rightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\].

Tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {16} \right\}\).

3) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 1\\2x + 3y = 8\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y =  - 1\\2x + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3y =  - 3\\2x + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 5\\2x + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2 + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Tập nghiệm hệ phương trình là \(S = \left\{ {\left( {1;2} \right)} \right\}\).