Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O) (C khác A, B và AC < CB). Các tiếp tuyến  của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tại M và N.

1) Chứng minh tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

2) Chứng minh CM = CO.

3) Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh \(EA.EB = E{C^2}\).

4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết \(OB = 6cm,\,BD = 8cm\). Tính thể tích của hình nón tạo thành.

1) Ta có CH ^ BD Þ H nhìn CD dưới một góc vuông (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB

Hai bán kính OC = OB

Þ OD là trung trực của BC Þ OD ^ CB

Þ N nhìn CD dưới một góc vuông (2)

Từ (1) và (2) Þ tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.

2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB, ta có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\)

Theo tính chất tiếp tuyến và giả thiết, ta có góc \(\widehat {COD} = \widehat {DMH}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\))

Mặt khác \(\widehat {DMH} = \widehat {CMO}\) (đối đỉnh) Þ \(\widehat {COD} = \widehat {CMO}\)

DCOM có \(\widehat {COM} = \widehat {CMO}\) Þ cân tại C Þ \(CM = CO\).

3) DEAC và DECB có góc E chung và góc \(\widehat {ECA} = \widehat {CBA}\) (cùng chắn cung AC)

Þ đồng dạng Þ \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}} \Rightarrow EA.EB = E{C^2}\).

4) Hình nón được tạo bởi tam giác vuông DNB quay quanh DN

Þ bán kính \(r = NB\) và chiều cao \(h = ND\).

Theo Pitago cho tam giác vuông BOD: \(OD = \sqrt {O{B^2} + B{D^2}}  = \sqrt {36 + 64}  = 10cm\).

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông BOD, ta có: \(BN.OD = OB.BD \Rightarrow BN = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8cm\).

Và \(B{D^2} = DN.DO \Rightarrow DN = \frac{{64}}{{10}} = 6,4cm\)

Thể tích của hình nón tạo thành \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi .{(4,8)^2}.6,4 = \frac{{6144}}{{125}}\pi  \approx 154,4156\,\left( {c{m^3}} \right)\).