(4,0 điểm)

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật có dạng hình trụ và với kích thước mô phỏng như hình vẽ.

a) Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không tính phần viền, mép dán) (làm tròn kết quả đến phần trăm ).

b) Hãy tính thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ đó  (làm tròn kết quả đến phần trăm).

a) Chứng minh tứ giác AHIF nội tiếp.

Ta có: \[\widehat {{\rm{AFI}}} = {90^o}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB).

           \(CD \bot AH\) tại H (giả thiết) và \(I \in CD\) \( \Rightarrow \widehat {AHI} = {90^o}\).

Xét tam giác AFI có \[\widehat {{\rm{AFI}}} = {90^o}\]nên đường tròn đường kính AI ngoại tiếp tam giác AFI hay 3 điểm A,F,I cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AI (1)

 Xét tam giác AHI có \[\widehat {{\rm{AHI}}} = {90^o}\]nên đường tròn đường kính AI ngoại tiếp tam giác AHI hay 3 điểm A, H, I cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AI(2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A, F, I, H cùng thuộc đường tròn đường kính AI

Hay tứ giác AHIF nội tiếp .

b) Chứng minh rằng: HA.HB = HI.HK.

Tứ giác AHIF nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {FAH} + \widehat {FIH} = {180^o}\) (Định lý)

Mà \(\widehat {BIH} + \widehat {FIH} = {180^o}\) (hai góc kề bù).

\( \Rightarrow \widehat {FAH} = \widehat {BIH}\) hay \(\widehat {KAH} = \widehat {BIH}\).

Xét \(\Delta HAK\) và \(\Delta HIB\) có

\(\widehat {AHK} = \widehat {IHB}\) (cùng bằng 90o)

\(\widehat {KAH} = \widehat {BIH}\) (cmt)

c) Chứng minh E luôn thuộc đường tròn cố định: 

Ta có:  (góc nội tiếp chắn nửa (O))  tại F

             tại H (vì  tại H)

             KH cắt BF tại I.

 I là trực tâm của     (1)

 vuông tại F, nên đường tròn ngoại tiếp  có đường kính là KI.

   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính KI).

  (2)

Từ (1) và (2)  K, E, B thẳng hàng, khi đó  tại E

 hoặc

 E luôn thuộc đường tròn   (đpcm)