Trong một hộp có \(10\) viên bi đánh số từ \(1\) đến \(10\), lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đặt phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là đỉnh hình chữ nhật và \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).

\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\);

Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48{m^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).

Họ đường thẳng \(\Delta \) qua\(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\), với \({a^2} + {b^2} \ne 0\).

Vì \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn nên: \({d_{\left( {O;\Delta } \right)}} = R\) hay \(\frac{{\left| {a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a =  - 4b\end{array} \right.\).

Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\) ta có \({\Delta _1}:y - 2 = 0\).

Với \(3a =  - 4b\), chọn \(a = 4\) và \(b =  - 3\) ta có :

\({\Delta _2}:4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 10 = 0\).