Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0\left( * \right)\]. Tìm điều kiện của \[m\] để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] có dạng: \[{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\]

Vì \[\left( P \right)\] có đường chuẩn \[\Delta :x + 4 = 0\] nên \[\frac{p}{2} = 4 \Leftrightarrow \;p = 8\].

Do đó phương trình chính tắc của \[\left( P \right)\] là \[{y^2} = 16x\].

Gọi \[M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( P \right)\], ta có:

\[d\left( {M;\,\Delta } \right) = MF = 5\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5\]

\[ \Leftrightarrow \left| {{x_0} + 4} \right| = 5\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 4 = 5\\{x_0} + 4 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} =  - 9\end{array} \right.\]

+) Với \[{x_0} = 1\] có \[{y_0}^2 = 16.1 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} =  - 4}\\{{y_0} = 4}\end{array}} \right.\]

+) Với \[{x_0} =  - 9\] có \[{y_0}^2 = 16.\left( {--9} \right) = --144\](vô lí).

Vậy \[M\left( {1;\,4} \right)\] hoặc \[M\left( {1;\, - 4} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức ta được:

\[{\left( {x - 2} \right)^5}\]\[ = C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}\]

Hệ số hạng thứ \[3\] trong khai triển  là \[C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}\].