Tìm số hạng không chứa biến \[x\] trong khai triển \[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{n - 7}}{2}}}\] biết \[x \ne 0\] và \[n \in {\mathbb{Z}^ + }\] thỏa mãn \[A_n^2 - C_n^2 = 105\]:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình:

\[A_n^2 - C_n^2 = 105\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]

\[ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 14\\n = 15\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Thay \[n = 15\] vào khai triển có:

\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{15 - 7}}{2}}} = {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\frac{1}{x} + C_4^2.{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\]

\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^2} + C_4^2.x + C_4^3.\frac{1}{{{x^2}}} + C_4^4.\frac{1}{{{x^4}}}\].

Vậy không có số hạng nào của khai triển không chứa biến \[x\].

Do đó chọn A.