Tìm số hạng không chứa biến \[x\] trong khai triển \[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{n - 7}}{2}}}\] biết \[x \ne 0\] và \[n \in {\mathbb{Z}^ + }\] thỏa mãn \[A_n^2 - C_n^2 = 105\]:

Hướng dẫn giải

Gọi \[I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d\] là tâm của đường tròn \[\left( C \right)\].

Theo giả thiết, ta có:

\[d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t =  - 2\end{array} \right.\]

+) Với \[t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

+) Với \[t =  - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)\], mà \[R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\] nên phương trình đường tròn là \[\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\].

Hướng dẫn giải

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là \[\overline {abc} \,\left( {a \ne 0} \right)\].

Chọn \[a\] có \[6\] cách chọn (vì \[a\] chọn tuý ý một trong các số từ \[1\] đến \[6\]).

Chọn \[b\] có \[5\] cách chọn (vì \[b \ne a\] nên \[b\] có thể chọn một trong các số từ \[1\] đến \[6\] nhưng không được chọn số mà \[a\] đã chọn).

Chọn \[c\] có \[4\] cách chọn (vì \[c \ne a,\,c \ne b\] nên \[c\] có thể chọn một trong các số từ \[1\] đến \[6\] nhưng không được chọn số mà \[a,\,b\] đã chọn).

Áp dụng quy tắc nhân, ta có \[6.5.4 = 120\] số có ba chữ số khác nhau được lập từ các số \[1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\].

Vậy số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( \Omega  \right) = 120\].

Gọi \[A\] là biến cố: “chọn được số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó nhỏ hơn \[323\]”.

TH1: \(a = 3\), khi đó:

Nếu \(b < 2\) thì \(b \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(b\) có \(2\) cách; \(c\) có \(5\) cách.

Do đó có: \(1.2.5 = 10\) số.

Nếu \(b = 2\) thì \(b\) có \(1\) cách; \(c\) phải nhỏ hơn \(3\) và khác \(b\) nên \(c \in \left\{ {0;1} \right\}\) hay \(c\) có \(2\) cách.

Do đó có: \(1.1.2 = 2\) số.

TH2: \(a < 3\) nên \(a \in \left\{ {1;2} \right\}\) hay \(a\) có hai cách chọn, khi đó:

\(b\) có \(6\) cách chọn, \(c\) có \(5\) cách chọn.

Do đó có \(2.6.5 = 60\) số.

Vậy có \(10 + 2 + 60 = 72\) số.