II. PHẦN TỰ LUẬN

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;\,\,1} \right)\), \(B\left( {0;\,2} \right),\,\,C\left( {3;\,1} \right)\).

a) Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\).

b) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A\) tới \(\left( \Delta  \right)\)  bằng \(\sqrt 8 \), khoảng cách từ điểm \(B\) tới đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) bằng \(\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

a) Đặt tọa độ điểm \(M\left( {x;y} \right)\)

Để \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\) thì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{{1 + x}}{2}\\2 = \frac{{1 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;3} \right)\).

Vậy \(M\left( { - 1;3} \right)\).

b) Gọi phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) cần tìm là: \(\left( \Delta  \right):y = ax + b\) hay \(ax - y + b = 0\).

Ta có:

Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là: \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.1 - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \).

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là: \(d\left( {B;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \frac{{\left| {a.1 - 1 + b} \right|}}{{\left| { - 2 + b} \right|}} = 2 \Leftrightarrow \left| {a.1 - 1 + b} \right| = 2\left| { - 2 + b} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a.1 - 1 + b = 2\left( { - 2 + b} \right)\\a.1 - 1 + b =  - 2\left( { - 2 + b} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 + b =  - 4 + 2b\\a - 1 + b = 4 - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b - 3\\a = 3 - 3b\end{array} \right.\)

Với \(a = b - 3\), ta có: \(\frac{{\left| {b - 3 - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + 1} }} = \sqrt 8  \Leftrightarrow \left| {2b - 4} \right| = \sqrt 8 .\sqrt {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 16b + 16 = 8\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2{b^2} - 12b + 20\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow b = 4\)

\( \Rightarrow a = 1\)

Do đó phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x - y + 4 = 0\).

Với \(a = 3 - 3b\), ta có: \(\frac{{\left| {3 - 3b - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3 - 3b} \right)}^2} + 1} }} = \sqrt 8  \Leftrightarrow \left| { - 2b - 2} \right| = \sqrt 8 .\sqrt {{{\left( {3 - 3b} \right)}^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 8b + 4 = 8\left( {9{b^2} - 18b + 10} \right)\)

\( \Leftrightarrow {b^2} - 2b + 1 = 18{b^2} - 36b + 20\)

\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 34b + 19 = 0\) (phương trình vô nghiệm).

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x - y + 4 = 0\).