Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2}\). Tìm các điểm thuộc đồ thị \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 5 lần hoành độ.

Do BE, CF là các đường cao nên \(\Delta BFC\) vuông tại F suy ra B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC và \(\Delta BEC\) vuông tại E nên \({\rm{B}},{\rm{E}},{\rm{C}}\)cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC là tứ giác nội tiếp

Khi đó \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (tổng hai góc đổi của từ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ \) (hai góc kè bù) nên \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).

b) Ta có \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2 \cdot 60^\circ  = 120^\circ \) (cùng chắn cung BC)

Khi đó \({S_q} = \frac{{\pi  \cdot {R^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{\pi  \cdot {3^2} \cdot 120}}{{360}} \approx 9,42\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

c) Ta có \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên:

\[\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ  - \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ  - \widehat {ACB}.\]

Lại có BFEC nội tiếp nên \(\widehat {AEF} = \widehat {BCA}\) (cùng bù \(\widehat {BFE}\))

Suy ra \(\widehat {OAB} + \widehat {AFE} = 90^\circ  - \widehat {ACB} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) hay \(\Delta AMF\) vuông tại M

Suy ra \(AO \bot EF\)

Mà \(AK \bot EF\) tại \(M\) nên \(A,K,M,O\) thẳng hàng

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có

\(\widehat {BAC}\) chung

\(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)

Do đó 

Mà \(K,\,\,H\) tương ứng là trực tâm của \(\Delta AEF,\,\,\Delta ABC\).

Và \(AM,\,\,AD\) tương ứng là các đường cao hạ từ \(A\) xuống \(EF,\,\,BC.\)

Do đó \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AM}}{{AD}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AH}}{{AD}}\)

Từ đó suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,MD\) (theo định lí Thales đảo)

Ta có điều kiện xác định: \(x \ne  - 1;x \ne 1\).                                                                                

\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)                                                                                

\(\frac{{{{(x + 1)}^2} + {{(x - 1)}^2} - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\)                                                                                

\(\frac{{{x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2x + 1 - 3x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\)                                                                                

\(\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\)                                                                                

Giải phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) ta được \(x = 1\) (loại) và \(x = \frac{1}{2}\left( {{\rm{tmdk}}} \right)\).                                                                                

Vậy phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\).