(1 điểm)

Một bình nước hình trụ không nắp, có chiều cao 14 cm và bán kính đáy 2 cm.

a) Tính thể tích của bình nước (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai của đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)).

b) Hiện tại mực nước có trong bình cao 8 cm. Một con quạ muốn uống nước trong bình, nó phải thả vào bình những viên bi dạng hình cầu có đường kính là 2 cm để nước dâng lên múc tối thiểu 12 cm. Hỏi con quạ cần thả vào trong bình ít nhất bao nhiêu viên bi như vậy?

Ta có điều kiện xác định: \(x \ne  - 1;x \ne 1\).                                                                                

\(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)                                                                                

\(\frac{{{{(x + 1)}^2} + {{(x - 1)}^2} - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\)                                                                                

\(\frac{{{x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2x + 1 - 3x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\)                                                                                

\(\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0\)                                                                                

Giải phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) ta được \(x = 1\) (loại) và \(x = \frac{1}{2}\left( {{\rm{tmdk}}} \right)\).                                                                                

Vậy phương trình \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) có nghiệm \(x = \frac{1}{2}\).

Ta có bằng giá trị sau:

Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm:

\(O\left( {0;0} \right);A\left( { - 2; - 2} \right);B\left( { - 1; - \frac{1}{2}} \right);C\left( {1; - \frac{1}{2}} \right);D\left( {2; - 2} \right)\)

Hệ số \(a =  - \frac{1}{2} < 0\) nên parabol có bề lõm hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

Vì tung độ bằng 5 lần hoành độ nên ta có \(y = 5x\), thay vào hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^2}\), ta được:

\(5x =  - \frac{1}{2}{x^2}\)

\({x^2} + 10x = 0\)

\(x\left( {x + 10} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) và \(x =  - 10\)

Với \(x = 0\) thì \(y = 0\)

Với \(x =  - 10\) thì \(y =  - 50\)

Vậy các điểm có toạ độ \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 10; - 50} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( P \right)\) có tung độ bằng 5 lần hoành độ.