(2 điểm)

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, có \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh rằng BFEC là tứ giác nội tiếp và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).

b) Trong truờng hợp \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\) và \(R = 3{\rm{cm}}\), hãy tinh diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhó \(BC\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

c) Gọi K là trực tâm của tam giác \(AEF\) và \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(EF\). Chứng minh rằng đường thẳng \(HK\) song song với đường thẳng \(MD\).

Do BE, CF là các đường cao nên \(\Delta BFC\) vuông tại F suy ra B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC và \(\Delta BEC\) vuông tại E nên \({\rm{B}},{\rm{E}},{\rm{C}}\)cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC là tứ giác nội tiếp

Khi đó \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (tổng hai góc đổi của từ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ \) (hai góc kè bù) nên \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).

b) Ta có \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2 \cdot 60^\circ  = 120^\circ \) (cùng chắn cung BC)

Khi đó \({S_q} = \frac{{\pi  \cdot {R^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{\pi  \cdot {3^2} \cdot 120}}{{360}} \approx 9,42\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

c) Ta có \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên:

\[\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \frac{{180^\circ  - \widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ  - \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ  - \widehat {ACB}.\]

Lại có BFEC nội tiếp nên \(\widehat {AEF} = \widehat {BCA}\) (cùng bù \(\widehat {BFE}\))

Suy ra \(\widehat {OAB} + \widehat {AFE} = 90^\circ  - \widehat {ACB} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) hay \(\Delta AMF\) vuông tại M

Suy ra \(AO \bot EF\)

Mà \(AK \bot EF\) tại \(M\) nên \(A,K,M,O\) thẳng hàng

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có

\(\widehat {BAC}\) chung

\(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)

Do đó 

Mà \(K,\,\,H\) tương ứng là trực tâm của \(\Delta AEF,\,\,\Delta ABC\).

Và \(AM,\,\,AD\) tương ứng là các đường cao hạ từ \(A\) xuống \(EF,\,\,BC.\)

Do đó \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AM}}{{AD}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AH}}{{AD}}\)

Từ đó suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,MD\) (theo định lí Thales đảo)