(2 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, có \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng BFEC là tứ giác nội tiếp và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).
b) Trong truờng hợp \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\) và \(R = 3{\rm{cm}}\), hãy tinh diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhó \(BC\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).
c) Gọi K là trực tâm của tam giác \(AEF\) và \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(EF\). Chứng minh rằng đường thẳng \(HK\) song song với đường thẳng \(MD\).
(2 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, có \(AB < AC\) và nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng BFEC là tứ giác nội tiếp và \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).
b) Trong truờng hợp \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\) và \(R = 3{\rm{cm}}\), hãy tinh diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhó \(BC\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).
c) Gọi K là trực tâm của tam giác \(AEF\) và \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(EF\). Chứng minh rằng đường thẳng \(HK\) song song với đường thẳng \(MD\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do BE, CF là các đường cao nên \(\Delta BFC\) vuông tại F suy ra B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC và \(\Delta BEC\) vuông tại E nên \({\rm{B}},{\rm{E}},{\rm{C}}\)cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC là tứ giác nội tiếp
Khi đó \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (tổng hai góc đổi của từ giác nội tiếp)
Mà \(\widehat {BFE} + \widehat {AFE} = 180^\circ \) (hai góc kè bù) nên \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\).
b) Ta có \(\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \) (cùng chắn cung BC)
Khi đó \({S_q} = \frac{{\pi \cdot {R^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{\pi \cdot {3^2} \cdot 120}}{{360}} \approx 9,42\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
c) Ta có \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên:
\[\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = 90^\circ - \widehat {ACB}.\]
Lại có BFEC nội tiếp nên \(\widehat {AEF} = \widehat {BCA}\) (cùng bù \(\widehat {BFE}\))
Suy ra \(\widehat {OAB} + \widehat {AFE} = 90^\circ - \widehat {ACB} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) hay \(\Delta AMF\) vuông tại M
Suy ra \(AO \bot EF\)
Mà \(AK \bot EF\) tại \(M\) nên \(A,K,M,O\) thẳng hàng
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) có
\(\widehat {BAC}\) chung
\(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)
Do đó
Mà \(K,\,\,H\) tương ứng là trực tâm của \(\Delta AEF,\,\,\Delta ABC\).
Và \(AM,\,\,AD\) tương ứng là các đường cao hạ từ \(A\) xuống \(EF,\,\,BC.\)
Do đó \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AM}}{{AD}}\) hay \(\frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AH}}{{AD}}\)
Từ đó suy ra \(HK\,{\rm{//}}\,MD\) (theo định lí Thales đảo)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Nửa chu vi bế bơi là \(36:2 = 18\left( {\rm{m}} \right)\)
Gọi chiều dài của bể bơi lần lượt là \(x\left( {\rm{m}} \right)\,\,\left( {0 < x < 18} \right).\)
Chiều rộng của bế bơi là \(18 - x\left( {\rm{m}} \right)\)
Diện tích bế bơi là \(x\left( {18 - x} \right)\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Vì diện tích hình chữ nhật là \(80\,\,{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình \(x\left( {18 - x} \right) = 80\) \( - {x^2} + 18x - 80 = 0\)
\( - {x^2} + 18x - 80 = 0\)
\({x^2} - 18x + 80 = 0\)
\({x^2} - 10x - 8x + 80 = 0\)
\(x\left( {x - 10} \right) - 8\left( {x - 10} \right) = 0\)
\(\left( {x - 10} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\)
\(x = 8\) hoặc \(x = 10\)
Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài bể bơi là 10 m, chiều rộng bể bơi là 8 m.
Diện tích phần gạch lát là: \(12.10 - 80 = 40\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi giá vé niêm yết ban đầu của người lớn và trẻ em lần lượt là \(x,y\) (triệu đồng) \((x > 0;y > 0)\)
Giá vé người lớn được giảm \(20\% \), thực tế phải trả là \(80\% x = 0,8x\) (triệu đồng).
Giá vé trẻ em được giảm \(25\% \) nên thực tế phải trả là \(75\% y = 0,75y\) (triệu đồng)
Do giá vé ban đầu của 3 người lớn và 2 trẻ em là 4,2 triệu đồng nên: \(3x + 2y = 4,2\)
Giá vé sau giảm của 3 người lớn và 2 trẻ em là 3,3 triệu đồng nên: \(2,4x + 1,5y = 3,3\)
Từ đó có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 4,2}\\{2,4x + 1,5y = 3,3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{4,2 - 2y}}{3}}\\{2,4\left( {\frac{{4,2 - 2y}}{3}} \right) + 1,5y = 3,3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{4,2 - 2y}}{3}}\\{3,36 - 0,1y = 3,3}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 0,6}\end{array}} \right.\)
Vậy giá vé niêm yết của người lớn và trẻ em lần lượt là 1 triệu đồng và 600 nghìn đồng.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập