Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ CM vuông góc với BD \(\left( {M \in BD} \right).\) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MB và AD. Chứng minh IJ và IC vuông góc với nhau.

Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông chuyên, tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường A và B là 22 em, chiếm tỉ lệ 40% trên tổng số học sinh dự thi của hai trường trên. Nếu tính riêng từng trường thì trường A có 50% học sinh dự thi trúng tuyển và trường B có 28% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi?

1. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + 2} \right| + 4\sqrt {y - 1}  = 5\\3\left| {x + 2} \right| - 2\sqrt {y - 1}  = 1\end{array} \right.\).

2. Giải phương trình: \({x^2} + \left( {3 - \sqrt {{x^2} + 2} } \right)x = 1 + 2\sqrt {{x^2} + 2} \) .

Đầu năm học, trường A mua 245 quyển sách tham khảo gồm hai môn Toán và Ngữ văn. Cuối năm học, nhà trường đã dùng \(\frac{1}{2}\) số sách Toán và \(\frac{2}{3}\) số sách Ngữ văn để khen thưởng cho học sinh giỏi. Biết rằng mỗi học sinh giỏi nhận được một quyển sách Toán và một quyển sách Ngữ văn. Hỏi đầu năm học trường A mua mỗi loại bao nhiêu quyển sách?

Cho điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính \(AB = 2R\)(M khác A và B). Kẻ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax và By cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại E và F, AF cắt BE tại K.

1. Chứng minh: \(AE.BF = {R^2}.\)

2. Kéo dài MK cắt AB tại H. Chứng minh K là trung điểm của MH.

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{x - 4}}{{x\sqrt x  - 8}} + \frac{{x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2} + 3}}\)

(với \(x \ge 0,x \ne 4\)).

1. Tính giá trị của A khi \(x = 9\).

2. Rút gọn \(B\).

3. Tìm điều kiện của \(x\) để \(A \le B.\)

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2\left( {m - 1} \right)x - 2m + 5\) (\(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ tương ứng là \({x_1},\,\,{x_2}\) dương và \(\left| {\sqrt {{x_1}}  - \sqrt {{x_2}} } \right| = 2.\)