Cho phương trình \({x^2} - mx - 2 = 0\) (với \[m\] là tham số dương) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} - 2{x_2} = 5\). Biết rằng \[m\] có dạng \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản với mẫu số dương, hiệu \({a^2} - {b^2}\) bằng

Chọn B

Xét phương trình \({x^2} - mx - 2 = 0\).

Phương trình trên có \(\Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 2} \right) = {m^2} + 8 > 0\) với mọi tham số \[m.\]

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} =  - 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Theo bài, ta có \({x_1} - 2{x_2} = 5\) suy ra \[{x_1} = 2{x_2} + 5,\] thay vào \(\left( 1 \right),\) ta được:

\(2{x_2} + 5 + {x_2} = m\) hay \(3{x_2} = m - 5\) nên \({x_2} = \frac{{m - 5}}{3}.\)

Khi đó, ta có \[{x_1} = 2 \cdot \frac{{m - 5}}{3} + 5 = \frac{{2m + 5}}{3}.\]

Thay \[{x_1} = \frac{{2m + 5}}{3}\] và \({x_2} = \frac{{m - 5}}{3}\) vào \(\left( 2 \right),\) ta được:

\[\frac{{2m + 5}}{3} \cdot \frac{{m - 5}}{3} =  - 2\]

\(2{m^2} - 10m + 5m - 25 =  - 18\)

\(2{m^2} - 5m - 7 = 0\)

\(m =  - 1\) hoặc \(m = \frac{7}{2}.\)

Theo bài, \[m\] có dạng \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản với mẫu số dương nên ta chọn \(m = \frac{7}{2}.\)

Khi đó \(a = 7,\,\,b = 2.\)

Vậy \({a^2} - {b^2} = {7^2} - {2^2} = 45.\)