Cho phương trình \({x^2} - 5x + 2 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: \(A = \sqrt {16x_1^2 + 8{x_1}{x_2} + 5{x_2} - 2} + 3{x_2}\).

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Ba đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \(C,E,H,D\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(AD \cdot MC = AC \cdot BD\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \({\rm{EF}};I\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC;K\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh: \(K\) là trung điểm của \(HM\) và \(PI\) song song với \(HK\).

Có chín tấm thẻ lần lượt ghi các số \(1;2;3;4;5;6;7;8;9\). Bạn Cường rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp chứa chín tấm thẻ đó.
a) Tính số phần từ của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của biến cố \[A\] : "Rút được tấm thẻ ghi số chẵn".

Một cốc nước hình trụ có bán kính đáy phía trong thành cốc là \[4\,{\rm{cm}}\]đang chứa nước nhưng chưa đầy. Người ta thả chìm hoàn toàn vào cốc \[3\] viên bi hình cầu giống hệt nhau thì thấy mực nước trong cốc dâng lên nhưng chưa đầy cốc. Biết bán kính mỗi viên bi bằng \[2\,{\rm{cm}}\].
a) Tính thể tích của mổi viên bi.
b) Sau khi thả chìm hoàn toàn vào cốc \[3\] viên bi thì thấy chiều cao của mực nước trong cốc dâng lên so với mực nước ban đầu là \(h\,\,{\rm{(cm}}).\) Tính \(h\).

Hình vẽ bên mô tả tia nắng mặt trời dọc theo \(AC\) tạo với phương nằm ngang trên mặt đất một góc \(\widehat {ACB}\) bằng \({60^{\rm{o}}}\). Khi đó, người ta đo được bóng của một cái tháp trên mặt đất là đoạn thẳng \(BC\) dài 30 m . Biết tháp có phương vuông góc với mặt đất.
a) Tính chiều cao \(AB\) của tháp (làm tròn kết quả đến hàng phẩn trăm).
b) Tại một thời điểm khác, người ta đo được bóng của tháp có độ dài \(BD = 90{\rm{\;m}}\). Tính góc \(\widehat {ADB}\) giữa tia nắng mặt trời và mặt đất vào thời điểm đó.

Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}} + \frac{{2\sqrt a  - 4}}{{a - 1}}} \right):\frac{1}{{\sqrt a  - 1}}\) với \(a \ge 0,a \ne 1\)
a) Rút gọn biểu thức \(M\).