Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Ba đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh bốn điểm \(C,E,H,D\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Chứng minh \(AD \cdot MC = AC \cdot BD\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \({\rm{EF}};I\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC;K\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh: \(K\) là trung điểm của \(HM\) và \(PI\) song song với \(HK\).

PT đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Theo định lý Viét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1} \cdot {x_2} = 2}\end{array}} \right.\)

Vì \[{x_1} + {x_2} = 5 > 0,{x_1}.{x_2} = 2 > 0\] nên \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm dương phân biệt.
Vì \({x_2}\) là nghiệm của PT \({x^2} - 5x + 2 = 0\) nên \({x_2}{\;^2} - 5{x_2} + 2 = 0\) ha\(x_2^2 = 5{x_2} - 2\)

Ta có: \(A = \sqrt {16x_1^2 + 8{x_1}{x_2} + 5{x_2} - 2}  + 3{x_2}\)

\(A = \sqrt {16x_1^2 + 8{x_1}{x_2} + x_2^2}  + 3{x_2}\) \( = \sqrt {{{\left( {4{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}  + 3{x_2}\) \( = \left| {4{x_1} + {x_2}} \right| + 3{x_2}\)

Vì \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm dương nên \(A = \left| {4{x_1} + {x_2}} \right| + 3{x_2} = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4.5 = 20\).

Vậy \(A = 20\).

a) Ta có : \(M = \left( {\frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right) - \sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right) + 2\sqrt a  - 4}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right):\frac{1}{{\sqrt a  - 1}}\) với \(a \ge 0,a \ne 1\)

\( = \left[ {\frac{{a - \sqrt a  - a - \sqrt a  + 2\sqrt a  - 4}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt a  - 1}}{1}\)\( = \frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt a  - 1}}{1}\)

Do đó: \(M = \frac{{ - 4}}{{\sqrt a  + 1}}\)

                 b) Với \(a \ge 0,a \ne 1\) ta có: \(M >  - 2\) hay \(\frac{{ - 4}}{{\sqrt a  + 1}} >  - 2{\rm{\;}}\)  do đó \( - 2 + 2\sqrt a  > 0\) ( vì \(\sqrt a  + 1 > 0\))

                 Suy ra \({\rm{\;\;}}\sqrt a  > 1\) hay \(a > 1\).

                 Vậy với \(a > 1\) thì \(M >  - 2\)