Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng $\frac{1}{2}$ số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB

Câu hỏi trong đề: 11 bài tập Toán 9 Kết nối tri thức Bài 27. Góc nội tiếp có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1/2 số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của tam giác AOB (ảnh 1)

Xét $\Delta AOB$ có

$\begin{array}{l}O{A^2} + O{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2}\\A{B^2} = {\left( {R\sqrt 2 } \right)^2} = 2{R^2}\end{array}$

Vậy $\Delta AOB$ vuông tại $O.$

Do đó sđSố đo cung lớn

Vì số đo của cung nhỏ bằng $\frac{1}{2}$ số đo cảu cung lớn, nên

sđ . Do đó $\widehat {AOB} = 120^\circ .$

Mà $\Delta AOB$cân tại $O$, suy ra $\widehat A = 30^\circ .$

Vẽ $OH \bot AB,$ ta được $OH = OA.\sin A = R.\sin 30^\circ = \frac{1}{2}R.$

Diện tích tam giác $AOB$ là

$S = \frac{1}{2}AB.OH = \frac{1}{2}R\sqrt 3 .\frac{1}{2}R = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}.$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N.

Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.

b) ID $ \bot $MN.

c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra cách dựng đường tròn I nói trên.

Xem đáp án

Lời giải

a. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. (ảnh 1)

a. Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = 90^\circ ,$ suy ra $\widehat {MCN} = 90^\circ .$

Xét đường tròn $\left( I \right)$ có $\widehat {MCN} = 90^\circ ,$ suy ra $M,I,N$ thẳng hàng.

b. Đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$ tiếp xúc với nhau tại $C$ suy ra $O,I,C$ thẳng hàng.

$\Delta ICN$ cân$ \Rightarrow \widehat {INC} = \widehat {ICN;}$

$\Delta OCB$ cân$ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}.$

Suy ra $\widehat {INC} = \widehat {OBC,}$ dẫn tới $MN$//$AB$ (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ta có $ID \bot AB$(tính chất của tiếp tuyến), do đó $ID \bot MN.$

c. Ta có suy ra $\widehat {MCD} = \widehat {NCD.}$ Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ với đường tròn $\left( O \right)$, ta được

Vậy $E$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính $AB$ (nửa này không chứa điểm $C$). Do đó đường thẳng $CD$CD luôn đi qua một điểm cố định. Ta suy ra cách dựng đường tròn $\left( I \right)$ như sau:

- Dựng bán kính $OE \bot AB$ ($E$ thuộc nửa đường tròn không chứa $C).$

- Nối $CE$ cắt $AB$ tại $D.$

- Từ điểm $D$ dựng một đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $OC$ tại $I.$

- Dựng đường tròn $\left( {I;ID} \right)$ đó là đường tròn phải dựng.

Câu 2

Cho tam giác \[ABC{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)\]nội tiếp đường tròn (O) . Vẽ đường kính MN $ \bot $BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) . Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của ∆ABC.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác \[ABC{\rm{ } (ảnh 1)$

Mặt khác, $\widehat {MAN} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà $AM$ là phân giác trong góc A, nên AN là phân giác ngoài góc A

Câu 3