Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và $\left( {{\rm{O}};\frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}} \right)$. Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C.

a) Chứng minh rằng .

b) Tính số đo của hai cung AB.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Góc nội tiếp lớp 9 (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (ảnh 1)

a) Ta có $OM \bot AB$(tính chất của tiếp tuyến),

$\Delta AOB$ cân tại $O,$ suy ra $\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}},$ do đó

(vì hai góc ở tâm bẳng nhau thi hai cung bị chắn bằng nhau).

b) Ta có $MA = MB$(đường kính vuông góc với dây cung).

$M{A^2} = O{A^2} - O{M^2} = {R^2} - {\left( {\frac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{R^2}}}{4}$

$ \Rightarrow MA = \frac{R}{2}$, do đó $AB = R.$ Tam giác $AOB$ có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.

Vậy $sđ \hat{A O B} = 60 °$ nên ${\overset{⏜}{A B}}_{nho} = 60 °$ và $sđ {\overset{⏜}{A B}}_{lon} = 300 °$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N.

Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.

b) ID $ \bot $MN.

c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra cách dựng đường tròn I nói trên.

Xem đáp án

Lời giải

a. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N. (ảnh 1)

a. Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = 90^\circ ,$ suy ra $\widehat {MCN} = 90^\circ .$

Xét đường tròn $\left( I \right)$ có $\widehat {MCN} = 90^\circ ,$ suy ra $M,I,N$ thẳng hàng.

b. Đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$ tiếp xúc với nhau tại $C$ suy ra $O,I,C$ thẳng hàng.

$\Delta ICN$ cân$ \Rightarrow \widehat {INC} = \widehat {ICN;}$

$\Delta OCB$ cân$ \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}.$

Suy ra $\widehat {INC} = \widehat {OBC,}$ dẫn tới $MN$//$AB$ (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ta có $ID \bot AB$(tính chất của tiếp tuyến), do đó $ID \bot MN.$

c. Ta có suy ra $\widehat {MCD} = \widehat {NCD.}$ Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ với đường tròn $\left( O \right)$, ta được

Vậy $E$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính $AB$ (nửa này không chứa điểm $C$). Do đó đường thẳng $CD$CD luôn đi qua một điểm cố định. Ta suy ra cách dựng đường tròn $\left( I \right)$ như sau:

- Dựng bán kính $OE \bot AB$ ($E$ thuộc nửa đường tròn không chứa $C).$

- Nối $CE$ cắt $AB$ tại $D.$

- Từ điểm $D$ dựng một đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $OC$ tại $I.$

- Dựng đường tròn $\left( {I;ID} \right)$ đó là đường tròn phải dựng.

Câu 2

Cho tam giác \[ABC{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)\]nội tiếp đường tròn (O) . Vẽ đường kính MN $ \bot $BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) . Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của ∆ABC.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác \[ABC{\rm{ } (ảnh 1)$

Mặt khác, $\widehat {MAN} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà $AM$ là phân giác trong góc A, nên AN là phân giác ngoài góc A

Câu 3