Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và \(\left( {{\rm{O}};\frac{{{\rm{R}}\sqrt 3 }}{2}} \right)\). Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B. Tia OM cắt đường tròn lớn tại C.

            a) Chứng minh rằng .

            b) Tính số đo của hai cung AB.

Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M và N.

Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.

b) ID \( \bot \)MN.

c) Đường thẳng CD đi qua một điểm cố định, từ đó suy ra cách dựng đường tròn I nói trên.

Cho tam giác \[ABC{\rm{ }}\left( {AB < AC} \right)\]nội tiếp đường tròn (O) . Vẽ đường kính MN \( \bot \)BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) . Chứng minh rằng các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của ∆ABC.

Cho tam giác ABC cân tại A (\(\hat A < {90^o}\)) . Vẽ đường tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DBE cân;                                             b) \(\widehat {CBE} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}\)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACEM là hình thang cân.

b) Vẽ CH \( \bot \)AB, chứng minh rằng tia CM là phân giác của góc HCO.

c) Chứng minh rằng \(CD \le \frac{1}{2}AE\)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng: \(OM = \frac{1}{2}AH\).

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60^o.

a) So sánh các góc của ∆ABC;

b) Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc ACB.

Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA, MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI.

a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, B thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp ∆MAB.

c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp ∆MAB.