Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

a) Đúng.

Ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

b) Đúng.

Ta có: \(\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_b^a = F\left( a \right) - F\left( b \right) =  - \,\left[ {F\left( b \right) - F\left( a \right)} \right] =  - \,\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

c) Sai.

Với \(a < c < b\) ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  \Leftrightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Mặt khác \[\int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  - \,\int\limits_c^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \, - n\].

Từ đó ta được \(\int\limits_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = m - \,\left( { - \,n} \right) = m + n\).

d) Sai.

Ta có: \[\int\limits_a^b {\left[ {2024f\left( x \right) + 2025} \right]{\rm{d}}x}  = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + 2025\int\limits_a^b {{\rm{d}}x}  = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \left. {2025x} \right|_a^b\]

                                                  \( = 2024\int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + 2025\left( {b - a} \right)\).