Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và có đạo hàm tại điểm \[{x_0} \in \left( {a;b} \right)\]. Khi đó, đạo hàm của hàm số \[y = f\left( x \right)\] tại điểm \[{x_o}\]là kết quả của giới hạn nào sau đây?

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 1\)

Ta có \({f^\prime }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x + 3) = 3\)

Gọi \(\Delta Y\)là số gia của biến số tại điểm \(Y\)

Ta có \[\Delta C = C\left( {Y + \Delta Y} \right) - C\left( Y \right) = 2Y.\Delta Y + {\left( {\Delta Y} \right)^2} + 20\Delta Y\]

\( \Rightarrow \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = \frac{{2Y.\Delta Y + {{\left( {\Delta Y} \right)}^2} + 20\Delta Y}}{{\Delta Y}} = 2Y + \Delta Y + 20\)

\( \Rightarrow C'\left( Y \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta Y \to 0} \frac{{\Delta C}}{{\Delta Y}} = 2Y + 20\).

\( \Rightarrow C'\left( {100} \right) = 2.100 + 20 = 220\).